Question

如圖所示，光滑圓弧面BC與水平面和傳送帶分別相切于B、C兩處，OC垂直于CD．圓弧所對的圓心角θ=37°，BC圓弧半徑R=7m．足夠長的傳送帶以恒定速率v=4m/s順時針轉動，傳送帶CD與水平面的夾角θ=37°．一質量m=1kg的小滑塊從A點以v₀=1Om/s的初速度向B點運動，A、B間的距離s=3.6m．小滑塊與水平面、傳送帶之間的動摩擦因數均為u=0.5．重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小滑塊第一次滑到C點時的速度；
（2）小滑塊到達的最高點離C點的距離；
（3）小滑塊最終停止運動時距離B點的距離；
（4）小滑塊返回圓弧最低點B時對軌道的壓力．

Answer 1

（1）C離A的高度：h=R-Rcosθ=R-0.8R=0.2R=1.4m
滑塊從A到C的過程中有：-mgh-μmgs=

1

2

m

v

2c

-

1

2

m

v

20

代入數據解得：v_c=6m/s．
（2）物體在傳送帶上運動的加速度大小為a₁，則：
a₁=gsinθ+μgcosθ=10×sin37°+0.5×10×cos37°=10m/s ²，
設物體在傳送帶上達到與傳送帶等速時的時間為t ₁，則：v=v_c-a₁t₁
得：t1=

vc-v

a1

=

6-4

10

s=0.2s．
向上的位移：x1=vct1-

1

2

a1

t

21

=6×0.2-

1

2

×10×0．22=1m
由于：mgsinθ＞μmgcosθ
物體繼續在傳送帶上減速上滑，加速度：
a₂=gsinθ-μgcosθ=10×sin37°-0.5×10×cos37°=2m/s²
繼續向上滑動的時間：t2=

v

a2

=

4

2

s=2s
繼續向上滑動的位移：x2=vt2-

1

2

a2

t

12

=4×2-

1

2

×2×22=4m
向上運動的最大距離：x=x₁+x₂=1m+4m=5m．
（3）滑塊沿傳送帶返回C點的過程中：

v

2C2

=2a2x
得：vC2=

2a2x

=

2×2×5m/s

=2

5

m/s
根據動能定理得，物體從C到停止：0-

1

2

m

v

2C2

=mgh-μmgs
代入數據解得：s=4.8m
（4）設滑塊在B點的速度是v_B，則：0-

1

2

m

v

2B

=-μmgs
又：FN-mg=

m v 2B

R

得：FN=mg+

m v 2B

R

=mg+

2μmgs

R

=1×10+

2×0.5×10×4.8

7

≈17N
答：（1）小滑塊第一次滑到C點時的速度是6m/s；
（2）小滑塊到達的最高點離C點的距離是5m；
（3）小滑塊最終停止運動時距離B點的距離是4.8m；
（4）小滑塊返回圓弧最低點B時對軌道的壓力是17N．