Question

【題目】如圖所示為一裝置的截面圖，其中AB段是半徑為R=2L的四分之一圓軌道，CDO段為半徑r=L的半圓形軌道，最高點O固定一個豎直擋板，小球碰后原速彈回，D為CDO軌道的中點，兩軌道均光滑，如圖連接且固定，現有一個質量為m的小球以某一速度v從A點進入軌道，并在豎直平面的軌道內運動。求：

（1）若要小球做完整的圓周運動，從A點進入軌道的速度v至少是多少？

（2）若小球從某一高度靜止釋放，且軌道承受最大壓力為3mg，試分析小球應從軌道上離地面多高的位置釋放。

（3）若軌道不光滑，小球以某一速度從A點進入軌道后，經擋板彈回時恰好返回A點，若將圓軌道AB換成直軌道（虛線所示），且與CDO圓弧光滑連接，直軌道的動摩擦因數和圓軌道相同，若小球以相同大小的速度從A點進入直軌道后，能再次返回A點嗎，請簡述原因。

Answer 1

【答案】（1） （2）L （3）能通過A點且具有一定的速度

【解析】（1）當小球恰好通過O點，由牛頓第二定律知，因為r=L，得

因為A、O等高，所以若要小球做完整的圓周運動，從A點進入軌道的速度v至少為

（2）設經過最低點C的速度為,則

得

若小球在離地面為h的高度靜止釋放，根據動能定理

得h=L

故應從離地面高為L的位置靜止釋放

（3）若換成斜面，斜面的摩擦力做功變小，所以損失的機械能變小，故能通過A點且具有一定的速度。