Question

【題目】如圖所示，為某月球探測(cè)器在月面軟著陸的最后階段的運(yùn)動(dòng)示意圖。探測(cè)器原來(lái)懸停在A點(diǎn)，為避開正下方B處的障礙物，探測(cè)器需先水平運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，再沿CD豎直下降，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度變?yōu)?/span>0，此后探測(cè)器關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，在自身重力作用下自由下落至月面E點(diǎn)。已知月球表面重力加速度g = 1.62 m/s2，AC =1.6 m，CD = 26 m，DE = 4 m。探測(cè)器在A點(diǎn)時(shí)質(zhì)量m = 1000 kg，從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所用時(shí)間為15 s。探測(cè)器主發(fā)動(dòng)機(jī)M豎直向下噴氣，可產(chǎn)生0 ~ 7500 N的變推力，輔助發(fā)動(dòng)機(jī)P、Q分別水平向左、水平向右噴氣，產(chǎn)生的推力恒為400 N，所有發(fā)動(dòng)機(jī)噴出的氣體相對(duì)探測(cè)器的速度大小均為u = 2000 m/s，且發(fā)動(dòng)機(jī)的推力F與噴氣速度u、秒流量Q（單位時(shí)間內(nèi)噴出的氣體質(zhì)量）滿足F = u·Q。探測(cè)器在如圖所示的整個(gè)過(guò)程中所消耗的燃料質(zhì)量Δm << m。求：

（1）探測(cè)器著陸前瞬間的速度；

（2）探測(cè)器從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過(guò)程中所消耗的燃料質(zhì)量Δm1；

（3）探測(cè)器從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程消耗的燃料質(zhì)量（即噴出的氣體質(zhì)量）Δm2的最小值。

Answer 1

【答案】（1）3.6 m/s（2）12.15 kg （3）3.96 kg

【解析】（1）根據(jù)自由落體公式，有v2 - 0 = 2gh ①

由①式代入數(shù)據(jù)得v = 3.6 m/s ②

（2）對(duì)CD過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量定理有

IF - mgt = 0 - 0 ③

其中IF = ∑F Δt =∑u·QΔt = uΔm ④

由③④式代入數(shù)據(jù)得

Δm = 12.15 kg ⑤

（3）探測(cè)器從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，主發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的推力

F1 = mg ⑥

秒流量Q1 = ⑦

發(fā)動(dòng)機(jī)P或Q工作時(shí)，推力F2 = 500 N

秒流量Q2 = ⑧

發(fā)動(dòng)機(jī)P或Q工作時(shí)，探測(cè)器的加速度

a = (9)

假設(shè)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，探測(cè)器先加速運(yùn)動(dòng)t1時(shí)間，再勻速運(yùn)動(dòng)t2時(shí)間，最后再減速運(yùn)動(dòng)t3時(shí)間，易知

t1 = t3 (10)

探測(cè)器加速和減速過(guò)程中的位移

s1 = s3 =at12 ⑾

勻速過(guò)程中的位移

s2 = AC-s1-s3 ⑿

勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

t2 = ⒀

整個(gè)過(guò)程消耗的燃料質(zhì)量

Δm2 = Q1（t1 + t2 + t3）+ Q2（t1 + t3） ⒁

由以上各式代入數(shù)據(jù)得

Δm2 = 1.21t1+ ⒂

易知，當(dāng)t1==s時(shí)，Δm2最小，最小值為

Δm2min = 3.96 kg ⒃