Question

（2007?宿遷模擬）某課外小組經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)靠近某行星周圍有眾多衛(wèi)星，且相對(duì)均勻地分布于行星周圍，假設(shè)所有衛(wèi)星繞該行星的運(yùn)動(dòng)都是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過天文觀測(cè)，測(cè)得離行星最近的一顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)半徑為R₁，周期為T₁，已知萬有引力常為G．求：
（1）行星的質(zhì)量；
（2）若行星的半徑為R，行星的第一宇宙速度；
（3）通過天文觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)離行星很遠(yuǎn)處還有一顆衛(wèi)星，其運(yùn)動(dòng)半徑為R₂，周期為T₂，試估算靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）萬有引力做為向心力，明確告訴了行星的周期，所以向心力的公式要考慮用含有周期的公式．
（2）行星的第一宇宙速度等于星球表面衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)在星球表面，萬有引力等與向心力，列式求解．
（3）因?yàn)樾行侵車�的衛(wèi)星分布均勻，研究很遠(yuǎn)的衛(wèi)星可把其他衛(wèi)星和行星整體作為中心天體，根據(jù)萬有引力提供向心力求出總質(zhì)量，則靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量等于剛才求的總質(zhì)量減去行星質(zhì)量．

解答：解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得：
G

Mm

R12

=m

4π2R1

T12

解得行星質(zhì)量為：M=

4π2R13

GT12

（2）由G

Mm

R2

=m

v2

R

得第一宇宙速度為：v=

2πR1

T1

R1 R

（3）因?yàn)樾行侵車�的衛(wèi)星分布均勻，研究很遠(yuǎn)的衛(wèi)星可把其他衛(wèi)星和行星整體作為中心天體，
根據(jù)萬有引力提供向心力得：G

M總m

R22

=m

4π2R2

T22

所以行星和其他衛(wèi)星的總質(zhì)量M總=

4π2R23

GT22

所以靠近該行星周圍的眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量為：△M=

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

答：（1）行星的質(zhì)量為

4π2R13

GT12

；
（2）若行星的半徑為R，行星的第一宇宙速度為

2πR1

T1

R1 R

；
（3）通過靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量為

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式只能求出中心體的質(zhì)量．
要求出行星的質(zhì)量，我們可以在行星周圍找一顆衛(wèi)星研究，即把行星當(dāng)成中心體．