Question

【題目】如圖所示，在水平面的上方有一固定的水平運輸帶，在運輸帶的左端A處用一小段光滑的圓弧與一光滑的斜面平滑銜接，該運輸帶在電動機的帶動下以恒定的向左的速度v0＝2 m/s運動．將一可以視為質點的質量為m＝2 kg的滑塊由斜面上的O點無初速度釋放，其經A點滑上運輸帶，經過一段時間滑塊從運輸帶最右端的B點離開，落地點為C.已知O點與A點的高度差為H1＝1.65 m，A點與水平面的高度差為H2＝0.8 m，落地點C到B點的水平距離為x＝1.2 m，g取10 m/s2.

(1)求滑塊運動到C點時的速度大小；

(2)如果僅將O點與A點的高度差變為H′1＝0.8 m，且當滑塊剛好運動到A點時，撤走斜面，求滑塊落在水平面上時的速度大小；

(3)在第(2)問情況下滑塊在整個運動過程中因摩擦而產生的熱量有多少？

Answer 1

【答案】(1)5 m/s (2)2 m/s (3)36 J

【解析】(1)設滑塊滑至運輸帶的右端時速度為v1，滑塊自運輸帶右端飛出至落地的時間為t，則在水平方向上，x＝v1t

在豎直方向上，H2＝gt2

設滑塊落地時的速度為v，根據機械能守恒定律得＋mgH2＝mv2

聯立解得v1＝3 m/s，v＝5 m/s.

(2)設滑塊從高H1＝1.65 m處的O點由靜止開始下滑到運輸帶上，再滑到運輸帶右端過程中，摩擦力對滑塊做功為Wf，由動能定理得mgH1＋Wf＝。

解得Wf＝－24 J

滑塊從高H′1＝0.8 m處的O點由靜止開始下滑到運輸帶上，由于mgH′1<|Wf|，在滑到運輸帶右端前滑塊的速度就減為零，然后滑塊要向左運動，設滑塊從高H′1＝0.8 m處由靜止開始下滑到達運輸帶左端的速度為v′0，則mgH′1＝

解得v′0＝4 m/s

因為v0<v′0，故滑塊在運輸帶上向左運動的過程中，先加速至與運輸帶速度相同，后勻速運動至運輸帶左端做平拋運動，設滑塊從運輸帶左端拋出，落地時的速度大小為v2，根據機械能守恒定律得＋mgH2＝

解得v2＝2 m/s.

(3)設滑塊與運輸帶間的動摩擦因數為μ，滑塊從高H′1＝0.8 m處由靜止開始下滑，在運輸帶上減速到零的過程中，滑塊在運輸帶上運動的時間為t1，滑塊與運輸帶摩擦所產生的熱量為Q1，則有Q1＝μmg(t1＋v0t1)

對滑塊，由動能定理得－μmgt1＝0－

設滑塊后來又向運輸帶左端運動的過程中，滑塊加速至v0運動的時間為t2，滑塊與運輸帶摩擦所產生的熱量為Q2，則Q2＝μmg(v0t2－t2)

對滑塊，由動能定理得μmgt2＝－0

則滑塊自釋放至落地全過程中滑塊與運輸帶摩擦所產生的熱量Q＝Q1＋Q2

解得Q＝36 J.