Question

一絕緣“?”形桿由兩段相互平行的足夠長的水平直桿PQ、MN和一半徑為R的光滑半圓環MAP組成，固定在豎直平面內，其中MN桿是光滑的，PQ桿是粗糙的，整個裝置處在水平向左的勻強電場中．在PM左側區域足夠大的范圍內同時存在垂直豎直平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．現將一質量為m、帶正電電量為q的小環套在MN桿上，小環所受的電場力為重力的．（已知重力加速度為g）
（1）若將小環由D點靜止釋放，則剛好能到達P點，求DM間的距離
（2）在滿足第一問的情況下，小環在A點對圓環的壓力
（3）若將小環由M點右側5R處靜止釋放，設小環與PQ桿間的動摩擦因數為μ，小環所受最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，求小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

【答案】分析：（1）小環從D至P過程中，根據動能定理結合電場力與重力關系，即可求解；
（2）小環從D至A的過程，根據動能定理；對小環在A點受力分析由牛頓第二定律及牛頓第三定律即可求解；
（3）根據速度為零分電場力小于等于最大靜摩擦力與大于最大靜摩擦力，由動能定理分別求出過程中克服摩擦力所做的功．
解答：解：（1）設電場強度為E，DM距離為L，對小環從D至P，由動能定理：
EqL-mg?2R=0-0       ①
題意有          ②
結合得  L=4R                  ③
（2）設小環在A點速度為v_A，對小環從D至A的過程，由動能定理：
      ④
由小環在A點的受力分析及牛頓第二定律得： ⑤
由④⑤式可得，⑥
根據牛頓第三定律，小環在A點對圓環的壓力大小為，方向水平向左．
（3）小環首次到P點速度不為零，將向右運動，當速度為零時，若滿足
（i）Eq≤f_m=μmg，即，小環將保持靜止．設此時小環距P點水平距離為x，
則對全程由動能定理：
Eq（5R-x）-mg?2R-μmgx=0-0   ⑦
則克服摩擦力做功  ⑧
（ii） Eq＞f_m=μmg，即，小環將來回往復運動，最終會在P點的速度減為零．
則對全程由動能定理：Eq?5R-mg?2R-W_f=0-0  ⑨
得克服摩擦力做功  
答：（1）若將小環由D點靜止釋放，則剛好能到達P點，求DM間的距離為4R；
（2）在滿足第一問的情況下，小環在A點對圓環的壓力大小為，方向水平向左；
（3）若將小環由M點右側5R處靜止釋放，當電場力小于等于最大靜摩擦力時，小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功為；當電場力大于最大靜摩擦力時，小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功為．
點評：本題考查動能定理、牛頓第二定律、牛頓第三定律，及向心力表達式．強調動能定理選取過程的重要性與做功的正負值．最后還注意克服摩擦力做功的分類性．