Question

【題目】1932年美國(guó)物理學(xué)家勞倫斯發(fā)明了回旋加速器，巧妙地利用帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，解決了粒子的加速問(wèn)題。現(xiàn)在回旋加速器被廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和醫(yī)學(xué)設(shè)備中。回旋加速器的工作原理如圖甲所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直，加速器接一定頻率的高頻交流電源，保證粒子每次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)都被加速，加速電壓為U。A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為q，初速度不計(jì)，在加速器中被加速，加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用。

（1）求第1次被加速后粒子的速度大小為v；

（2）經(jīng)多次加速后，粒子最終從出口處射出D形盒，求粒子射出時(shí)的動(dòng)能和在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t；

（3）近年來(lái)，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合。例如由直線加速器做為預(yù)加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量。個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增大的金屬圓筒和一個(gè)靶，它們沿軸線排列成一串，如圖乙所示（圖中只畫(huà)出了六個(gè)圓筒，作為示意）。各筒相間地連接到頻率為、最大電壓值為的正弦交流電源的兩端。整個(gè)裝置放在高真空容器中。圓筒的兩底面中心開(kāi)有小孔。現(xiàn)有一電量為q、質(zhì)量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙的時(shí)間可以不計(jì)。已知離子進(jìn)入第一個(gè)圓筒左端的速度為，且此時(shí)第一、二兩個(gè)圓筒間的電勢(shì)差。為使打到靶上的離子獲得最大能量 ，各個(gè)圓筒的最小長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量。

Answer 1

【答案】（1） （2） ， （3） ，

【解析】（1）粒子第1次被加速后，，；

（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑時(shí)，粒子的速度最大，

動(dòng)能最大，設(shè)最大速度為，有，

粒子獲得的最大動(dòng)能，

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，被電場(chǎng)加速兩次。設(shè)粒子到出口處被加速了n次，，解得，

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為，

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；

（3）為使正離子獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時(shí)，前一個(gè)圓筒的電勢(shì)比后一個(gè)圓筒的電勢(shì)高U，這就要求離子穿過(guò)每個(gè)圓筒的時(shí)間都恰好等于交流電的半個(gè)周期。由于圓筒內(nèi)無(wú)電場(chǎng)，離子在筒內(nèi)做勻速運(yùn)動(dòng)。

設(shè)離子在第n個(gè)圓筒內(nèi)的速度為，第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度為，則有

，，，

第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足的條件為，

打到靶上的離子的能量為。