Question

【題目】如圖所示，地面固定一個圓心為O、豎直放置的光滑半圓軌道ABC，B為半圓軌道中點，半徑R=0.08m，∠COB=90°.木板DE 質量為m，長度L=10m，E與A距離S=2m，木板與地面間的動摩擦因數為μ1=0.1，木板與A碰撞后立即原速率返回，并由地面控制裝置（圖中末畫出）保證E與A只能碰撞一次。E與A等高，以使E與A重合時板上的物體可以滑入半圓軌道，當E與A一旦分離，板上物塊將落地而無 法進入半圓軌道。一個可看作質點的物體質量為2m，物體與木板間動摩擦因數為μ2=0.2，物體在合適的位 置以合適的初速度v0開始向右運動，重力加速度g=10m/s2，結果可保留根號。求：

(1)要使物體沿軌道剛能到達 B 點，物體在 A 處的速度 vA 的大小；

(2)要使物體能到達 C 點而不脫離軌道，物體初速度v0 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）6m/s≤v0≤8m/s

【解析】

(1)對物體，從A到B： -mgR=-

剛能到達B處時：vB=0

解得:

(2)設物體在A點的速度為v1，從A到C：-mg2R =

要使物體能到達C點不脫離軌道，在C處有：mg=

解得:v1=2m/s

根據分析，可分為如下兩種情形進行求解：

情形①：當物體相對木板從左端的D點滑到E時，木板恰好運動了S=2m使E與A相遇，而且物體速度大于v1時，物體對應的v0有最大值

設木板加速度大小為，物體的加速度大小為a2

對木板有：μ2·2mg-μ1·3mg=ma1

可得：a1=1m/s2

對物體有:μ22mg=2ma2

可得：a2=2m/s2

設木板運動到與A相碰所用時間為t1，則板和物體的位移關系有：

L=

解得: t1=2s，v0=8m/s

此時物體到A的速度：v=v0-a2t1=4m/s

故v0=8m/s是v0的最大值

情形②：當物體與木板達到共速時物體恰好滑到E，以后一起減速運動直到E與A相遇，而且物體速度等于v1時，物體對應的v0有最小值

設物體與木板一起運動的加速度大小為a3，有：μ13mg=3ma3

求得：a3= 1m/s2

設物體與木板達到共速所用時間為t2，板在t2時間內位移為S2，兩者一起運動的位移為S3，則=

又板的總位移：

解得：t2=2s，v0= 6m/s

故初速度的取值范圍為：6m/s≤v0≤8m/s