Question

（10分）如圖所示，豎直平面內有一粗糙的圓弧圓管軌道，其半徑為R=0.5m，內徑很小。平臺高h="1.9" m，一質量m=0.5kg、直徑略小于圓管內徑的小球，從平臺邊緣的A處水平射出，恰能沿圓管軌道上P點的切線方向進入圓管內，軌道半徑OP與豎直線的夾角為37°。g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。不計空氣阻力。求：
（1）小球從平臺上的A點射出時的速度v₀是多大?
（2）小球通過最高點Q時，圓管軌道對小球向下的壓力F_Q＝3N，小球在圓管軌道中運動時克服阻力所做的功W是多少？

Answer 1

（1）v₀＝8 m/s
（2）W＝18.5 J

（1）設小球從A到P的過程中，運動時間為t，豎直位移為y，到達P點時豎直方向的速度是v_y，則
y＝h－R(1－cos37°)            ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
                    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
y＝1.8 m，t＝0.6 s
v_y＝gt                        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
解得v₀＝8 m/s                ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
（2）設小球在P點的速度為v_P，則
v_P＝                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
由動能定理有－mgh－W＝    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分)
由牛頓第二定律有mg＋F_Q＝       ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
v_P＝10m/s，v_Q＝m/s  
解得W＝18.5 J                     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
（2）或解：設小球在Q點的速度為v_Q，則
L=（h－2R）                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
由動能定理有mgL－W＝   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分)
由牛頓第二定律有mg＋F_Q＝        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
L=0.9m，v_Q＝m/s
解得W＝18.5 J                        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)