Question

【題目】如圖所示，固定斜面足夠長，斜面與水平面的夾角α=30°，一質量為3m的“L”型工件沿斜面以速度v0勻速向下運動，工件上表面光滑，其下端連著一塊擋板。某時，一質量為m的小木塊從工件上的A點，沿斜面向下以速度v0滑上工件，當木塊運動到工件下端時（與擋板碰前的瞬間），工件速度剛好減為零，后木塊與擋板第1次相碰，以后每隔一段時間，木塊就與工件擋板碰撞一次。已知木塊與擋板都是彈性碰撞且碰撞時間極短，木塊始終在工件上運動，重力加速度為g。求：

（1）木塊滑上工件時，木塊、工件各自的加速度大小。

（2）木塊與擋板第1次碰撞后的瞬間，木塊、工件各自的速度大小。

（3）木塊與擋板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的時間間隔及此時間間隔內木塊和工件組成的系統損失的機械能△E。

Answer 1

【答案】（1）， （2）v1＝－2v0。v2＝2v0 （3）ΔE=24（n－1）mv02（n=2,3,4,5,……）

【解析】（1）設工件與斜面間的動摩擦因數為μ，木塊加速度為a1，工件加速度為a2。

對木塊，由牛頓第二定律可得：mgsinα＝ma1①

對工件，由牛頓第二定律可得：μ（3m+m）gcosα－3 mgsinα＝3ma2 ②

工件勻速運動時，由平衡條件可得：μ·3mgcosα＝3 mgsinα③

由①②③式解得：a1＝④

a2＝ ⑤

（2）設碰擋板前木塊的速度為v，由動量守恒定律可得：

3mv0+mv0=mv ⑥

由⑥式解得：v=4v0 ⑦

木塊以v與擋板發生彈性碰撞，設碰后木塊速度為v1，工件速度為v2，由動量守恒定律可得： mv= mv1+ 3m·v2 ⑧

由能量守恒得： ⑨

由⑥⑦⑧⑨式聯立解得：v1＝－2v0 ⑩

v2＝2v0

（3）第1次碰撞后，木塊以2 v0沿工件向上勻減速運動，工件以2 v0沿斜面向下勻減速運動，工件速度再次減為零的時間：t=

木塊的速度v1’=－2v0+a1t=4v0

此時，木塊的位移：x1=－2v0t+a1t2＝

工件的位移：x2=2v0t－a2t2＝

即木塊、工件第2次相碰前瞬間的速度與第1次相碰前瞬間的速度相同，以后木塊、工件重復前面的運動過程，則第1次與第n次碰撞的時間間隔：

Δt=（n－1）t=（n=2,3,4,5,……）

木塊、工件每次碰撞時，木塊和工件的總動能都相等，Δt時間內木塊、工件減少的機械能等于木塊、工件減少的重力勢能：ΔE=4mg（n－1）x2sin30°

由式解得：ΔE=24（n－1）mv02（n=2,3,4,5,……）