Question

【題目】如圖所示，玻璃球冠的折射率為，其底面鍍銀，底面的半徑是球半徑的倍；在過球心O且垂直于底面的平面（紙面）內，有一與底面垂直的光線射到玻璃球冠上的M點，該光線的延長線恰好過底面邊緣上的A點．求該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角．

Answer 1

【答案】150°

【解析】

試題分析：設球半徑為R，球冠地面中心為O′，連接OO′，則OO′⊥AB，令∠OAO′=α

則： ①

即α=30° ②

已知MA⊥AB，所以∠OAM=60° ③

設圖中N點為光線在球冠內地面上的反射點，所考慮的光線的光路圖如圖所示．

設光線在M點的入射角為i，折射角為r，在N點的入射角為i′，反射角為i″，玻璃的折射率為n．

由于△OAM為等邊三角形，所以入射角i=60° ④

由折射定律得：sini=nsinr ⑤

代入題給條件，得：r=30° ⑥

作底面在N點的法線NE，由于NE∥MA，所以i′=30° ⑦

由反射定律得：i″=30° ⑧

連接ON，由幾何關系可知△MAN≌△MON，則∠MNO=60° ⑨

由⑦⑨式可得∠ENO=30°

所以∠ENO為反射角，ON為反射光線．這一反射光線經球面再次折射后不改變方向．

所以，該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角為β=180°-∠ENO=150°．