Question

【題目】根據現代大爆炸宇宙學說，整個宇宙是膨脹的．在某個特定的時刻，宇宙中相距為的兩點的相對退行速度為．這就是著名的哈勃定律，其中僅為時間的函數，在一段不太長的時間內，可視為恒量

（1）宇宙的膨脹會由于引力作用而不斷減速，隨著不同的宇宙平均密度，宇宙可能是開放的（即無限膨脹下去），也可能是閉合的（即會在某一時刻開始收縮），試求出這兩種情況下，宇宙平均密度的分界點（用與基本物理常量表示）

（2）設目前宇宙的哈勃常量為，平均密度，試計算宇宙從大爆炸到開始收縮的時間（用含，及基本物理常量的式子表示）

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）在空間中取一質點作為宇宙中心，以為參考系，則對與距離為處的質元，其總機械能為，其中

又時，由題意有，故，

所以，

（2）由于，故質元在從發出，到達處后，總機械能為

從而又會回到，式中為以為中心，半徑為的球所包含的質量，為了利用開普勒第三定律，我們認為直線是一個極端的橢圓，且此橢圓半長軸長滿足：

而，是現在（即密度為的時刻）與的距離．且上式考慮了宇宙在膨脹過程中，彼此不會超越故

由開普勒第三定律（為此運行一周的時間），

有

又由于題中所求為，則