Question

【題目】圖中給出一段“ ”形單行盤山公路的示意圖，彎道1、彎道2可看作兩個不同水平面上的圓弧，圓心分別為 ，彎道中心線半徑分別為 ，彎道2比彎道1高 ，有一直道與兩彎道圓弧相切。質量 的汽車通過彎道時做勻速圓周運動，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是車重的1.25倍，行駛時要求汽車不打滑。（sin37°=0.6，sin53°=0.8）

（1）求汽車沿彎道1中心線行駛時的最大速度 ；
（2）汽車以 進入直道，以 的恒定功率直線行駛了 ，進入彎道2，此時速度恰為通過彎道2中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對汽車做的功；
（3）汽車從彎道1的A點進入，從同一直徑上的B點駛離，有經驗的司機會利用路面寬度，用最短時間勻速安全通過彎道，設路寬 ，求此最短時間（A、B兩點都在軌道的中心線上，計算時視汽車為質點 ）。

Answer 1

【答案】
（1）

彎道1的最大速度v1，有：

得

（2）

彎道2的最大速度v2，有：

得

直道上由動能定理有：

代入數據可得

（3）

可知r增大v增大，r最大，切弧長最小，對應時間最短，所以軌跡設計應如下圖所示

由圖可以得到

代入數據可以得到r’=12.5m

汽車沿著該路線行駛的最大速度

由

線路長度

最短時間 。

【解析】（1）汽車拐彎時靠靜摩擦力提供向心力，當靜摩擦力達到最大時，汽車的速度最大，根據牛頓第二定律求出汽車沿彎道1中心線行駛時的最大速度v1；（2）同理求出汽車沿彎道2中心線行駛時的最大速度v2，再研究汽車在直道上行駛的過程，運用動能定理求阻力對汽車做的功；（3）當汽車沿著與彎道1內切的弧線運動時時間最短，且速度最大，根據幾何關系求出該弧線的半徑，結合運動學公式求最短時間．
【考點精析】通過靈活運用靜摩擦力和向心力，掌握靜摩擦力:靜摩擦力大小可在0與fmax 之間變化，一般應根據物體的運動狀態由平衡條件或牛頓定律來求解；向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力即可以解答此題．