Question

（2005?煙臺模擬）某行星表面沒有氣體，在它的表面附近作勻速圓周運動的衛星的環繞周期為T，如果宇航員在這個行星地面上以v的初速度豎直向上拋出一石塊，石塊向上運動的最大高度為h．已知萬有引力恒量為G，求該行星的質量有多大．

Answer 1

分析：解：設行星半徑為r，根據題意，它的衛星的軌道半徑也為r．對石塊研究，根據機械能守恒定律或勻變速運動的位移公式，可求得該行星表面的重力加速度g．根據行星表面向心力等于重力m

4π2

T2

r=mg，故可以r．再根據萬有引力等于向心力F=G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，就可以求得行星的質量．

解答：解：設行星半徑為r，根據題意，它的衛星的軌道半徑也為r，設該行星表面的重力加速度為g、質量為M，衛星的質量為m，石塊質量為m₁
根據機械能守恒定律  

1

2

m₁v²=m₁gh　　
得　g=

v2

2h

衛星的向心力F=mω²r=m

4π2

T2

r
向心力等于重力m

4π2

T2

r=mg　　
故　r=

gT2

4π2

也就是r=

v2T2

8hπ2

根據萬有引力定律F=G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
由以上各式得　M=

v6T2

128Gπ4h3

答：該行星的質量為

v6T2

128Gπ4h3

．

點評：本題是衛星類型的問題，常常建立這樣的模型：環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯系星球表面宏觀物體運動和天體運動的橋梁．