Question

(20分）如圖所示，足夠長光滑水平軌道與半徑為i?的光滑四分之一圓弧軌道相切。現從圓弧軌道的最高點由靜止釋放一質量為m的彈性

小球A,當A球剛好運動到圓弧軌道的最低點時，與靜止在該點的另一彈性小球B發生沒有機械能損失的碰撞。已知B球的質量是A球質量的k倍，且兩球均可看成質點。

(1) 若碰撞結束的瞬間，A球對圓弧軌道最低點壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k的可能取值：

(2) 若k已知且等于某一適當的值時，A、B兩球在水平軌道上經過多次沒有機械能損失的碰撞后，最終恰好以相同的速度沿水平軌道運動。求此種情況下最后一次碰撞A球對B球的沖量。

Answer 1

解：⑴設A球到達圓弧軌道最低點時速度為v₀，則：

……………………………………………  ⑴

設此時A球對軌道壓力為N，則：

…………………………………………  ⑵

設碰撞后A球的速度大小為v₁，對軌道的壓力為N₁，B球的速度為v₂，則：

………………………………………   ⑶

………………………………   ⑷

…………………………………………  ⑸

…………………………………………………  ⑹

代入數值解上述方程組可得：

 或…………………………………………    (7)

⑵設最終兩球的速度大小為v，根據機械能守恒可得：

………………………………     (8)

最后一次碰撞前A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，則：

………………………………   (9)

…………………     (10)

設最后一次碰撞A對B的沖量為I，根據動量定理得：

………………………………………      (11)

解上述方程組可得：………………     (12)

本題共20分，其中（2）（5）（6）（12）每式1分，其它各式每式2分。其他方法正確可得分。