Question

有一個豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成．如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．現在最低點A給一個質量為m的小球一個水平向右的初速度，使小球沿軌道恰好運動到最高點B，小球在B點又能沿BFA軌道回到點A，到達A點時對軌道的壓力為4mg．
在求小球在A點的速度V₀時，甲同學的解法是：由于小球恰好到達B點，故在B點小球的速度為零，

1

2

m

v

20

=2mgR所以：V0=2

gR

在求小球由BFA回到A點的速度時，乙同學的解法是：由于回到A點時對軌道的壓力為4mg
故：4mg=m

v 2A

R

所以：VA=2

gR

你同意甲、乙兩位同學的解法嗎？如果同意請說明理由；若不同意，請指出他們的錯誤之處，并求出結果．根據題中所描繪的物理過程，求小球由B經F回到A的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

不同意；
甲同學在求V₀時，認為小球在B點的速度為零，這是錯誤的，在B點V_B有最小值．
正確的解法是：mg=m

v 2B

R

①
-2mgR=

1

2

m

v

2B

-

1

2

m

v

20

②
聯立①、②求解得：v0=

5gR

乙同學在計算中漏掉了重力，應為：FN-mg=m

v 2A

R

③
將F_N=4mg代入解得：vA=

3gR

設摩擦力做得功為W_f，小球從B→F→A的過程中由動能定理可得：2mgR+Wf=

1

2

m

v

2A

-

1

2

m

v

2B

④
解得：W_f=-mgR
故小球從B→F→A的過程中克服摩擦力做得功為W_f=mgR．
答：小球由B經F回到A的過程中克服摩擦力所做的功mgR．