Question

如圖所示，一光滑水平面內有一半徑為R的圓，一質量為m的物體（可看做質點）沿圖中直線從圓上的a點射入圓形區域，在大小為F₁力作用下在該水平面內做勻速圓周運動，并從圓上的b點離開該區域，離開時速度方向與直線垂直．圓心O到直線的距離為

3

5

R，現將F₁改為平行于該平面且垂直于直線的恒力F₂，同一物體以同樣的速度沿直線從a點射入圓形區域，也在b點離開該區域．求：
（1）物體做勻速圓周運動的半徑；
（2）F₂大小．

Answer 1

分析：（1）過b點和O點做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點，由幾何關系知，線段ac、bc和過a、b兩點的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，由幾何關系可以得到半徑．
（2）粒子在F₂作用下做類平拋，由平拋規律可以表示出來其大小，再由勻速圓周運動表示出來F₁的大小，進而得到F₂．

解答：解：
（1）過b點和O點做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點，由幾何關系知，線段ac、bc和過a、b兩點的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，如圖：
因此
ab=bc=r
設cd=x，圓心O到直線的距離為

3

5

R，則ad=

4

5

R，由幾何關系得：
ac=

4

5

R+x
bc=

3

5

R+

R2-x2

聯立解得：
r=

7

5

R
（2）粒子在F₂的作用下做類平拋運動，設其加速度大小為a，物體在圓形區域內運動的時間為t，由牛頓第二定律得：
F₂=ma①
由運動學公式得：
r=

1

2

at2②
r=vt③
由②③解得：
a=

2v2

r

帶入①得：
F2=m

2v2

r

=

2mv2

r

粒子在水平面內做勻速圓周運動，設粒子在a點的速度為v，圓周的半徑為r，由向心力公式得：
F1=m

v2

r

故：
F₂=2F₁
答：
（1）物體做勻速圓周運動的半徑r=

7

5

R；
（2）F₂大小為2F₁．

點評：本題重點是對數學知識的應用，要求作圖能力，數學幾何能力都比較好才行，有點偏重數學了．