Question

【題目】如圖甲所示是游樂場中過山車的實物圖片，可將過山車的一部分運動簡化為圖乙的模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=20m，該光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37°斜軌道面上的Q點，圓形軌道的最高點A與傾斜軌道上的P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現使質量m=100kg的小車（視為質點）從P點以一定的初速度v0沿斜面向下運動，不計空氣阻力，已知斜軌道面與小車間的動摩擦力為μ= ，取g=10m/
s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5°= ．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點A處，則：

（1）小車在A點的速度為多大？
（2）小車運動到圓形軌道最低點時對軌道的壓力大小？
（3）初速度v0的大小？

Answer 1

【答案】
（1）解：由于小車恰能通過A點，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據牛頓第二定律得：

mg=m

解得：vA= = m/s=10 m/s ①

答：小車在A點的速度為 m/s

（2）解：如圖，小車經軌道最低點時對軌道壓力最大．設在最低點軌道對小車的支持力為

則有： ﹣mg=m ②

小車由D到A的運動過程機械能守恒

則有：2mgR= ﹣ ③

由①②③得： ．

由牛頓第三定律，在D點小車對軌道的壓力 = =6mg=6000N

答：小車運動到圓形軌道最低點時對軌道的壓力大小為6000N

（3）解：設PQ距離為L，對小車由P到A的過程應用動能定理

得：﹣μmgLcos37°= ﹣ ④

由幾何關系：L= =60m⑤

由①④⑤得：

答：初速度v0的大小為

【解析】（1）小車恰好能通過圓形軌道的最高點A處，軌道對小車的彈力為零，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據牛頓第二定律求出小車在A點的速度．（2）根據動能定理或機械能守恒求出小車最低點的速度，再運用牛頓第二定律，通過支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛頓第三定律得到壓力．（3）對P到A全過程運用動能定理，重力做功為零，根據幾何關系求出在斜面上的位移，通過動能定理求出初速度 ．