Question

【題目】做功與路徑無(wú)關(guān)的力場(chǎng)叫做“勢(shì)場(chǎng)”，例如引力場(chǎng)和電場(chǎng)。在這類場(chǎng)中可以引入“場(chǎng)強(qiáng)”和“勢(shì)能”的概念來(lái)分別描述勢(shì)場(chǎng)中力和能的性質(zhì)。可以類比電場(chǎng)強(qiáng)度的定義，將質(zhì)點(diǎn)放在引力場(chǎng)中所受到的引力與質(zhì)量的比值定義為引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。

如圖甲所示為某勢(shì)場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大小隨x的分布，圖中E0為已知量。在該勢(shì)場(chǎng)中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)僅在場(chǎng)力作用下，以x = 0為中心，沿x軸做周期性運(yùn)動(dòng)。已知質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，受到的場(chǎng)力可表示為F = kE（k為常量），場(chǎng)力方向平行于x軸。取x = 0點(diǎn)為O點(diǎn)。

（1）請(qǐng)從力和加速度的角度，分析說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)在區(qū)域和區(qū)域的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)；

（2）功是能量轉(zhuǎn)化的量度，場(chǎng)力做功引起勢(shì)能的變化。取O點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。

a．請(qǐng)推導(dǎo)出勢(shì)能Ep與x的關(guān)系式，并在圖乙中畫(huà)出勢(shì)能Ep隨x變化的示意圖。

b．已知質(zhì)點(diǎn)的總能量為A，求質(zhì)點(diǎn)與O點(diǎn)間距離為x0（x0在運(yùn)動(dòng)區(qū)間內(nèi)）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能Ek。

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)受到的場(chǎng)力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

在區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)受到的場(chǎng)力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

（2）a．如圖所示：

b．

【解析】

（1）根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，從而判斷運(yùn)動(dòng)情況；

（2）根據(jù)功能關(guān)系判斷勢(shì)能Ep隨x變化；

（3）根據(jù)能量守恒來(lái)求解動(dòng)能；

（1）根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在場(chǎng)中受到的場(chǎng)力方向指向O點(diǎn)。

在區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)受到的場(chǎng)力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

在區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)受到的場(chǎng)力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)區(qū)域均做加速度大小為，方向指向O點(diǎn)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)；

（2）a．在區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，場(chǎng)力做負(fù)功，勢(shì)能增加。

由，得，其中

解得：

同理可得，在區(qū)域，勢(shì)能

所以，勢(shì)能

勢(shì)能Ep隨x變化的示意圖如右圖所示：

b．質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能與勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化，能量守恒。

質(zhì)點(diǎn)與O點(diǎn)距離為x0時(shí)，勢(shì)能

根據(jù)能量守恒，動(dòng)能。