Question

【題目】如圖，在豎直平面內，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點相切。BC為圓弧軌道的直徑。O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，，一質量為m的小球沿水平軌道向右運動，經A點沿圓弧軌道通過C點，落至水平軌道；在整個過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球對軌道的壓力恰好為零。重力加速度大小為g 。求：

（1）水平恒力的大小和小球到達C點時速度的大小；

（2）小球到達A點時的速度的大小；

（3）小球從C點落至水平軌道所用的時間。

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）設水平恒力的大小為F0，小球到達C點時所受合力的大小為F，由力的合成法則，則有：＝tanα
F2=（mg）2+F02；
設小球到達C點時的速度大小為v，由牛頓第二定律得：
聯立上式，結合題目所給數據，解得：F0=mg；v=

（2）設小球到達A點的速度大小v1，作CD⊥PA，交PA于D點，由幾何關系得：DA=Rsinα
CD=R（1+cosα）
由動能定理有，-mgCD-F0DA=mv2mv12
聯立上式，結合題目所給數據，那么小球在A點的速度大小為：

（3）小球離開C點后，在豎直方向上做初速度不為零的勻加速直線運動，加速度大小為g，設小球在豎直方向的初速度為v⊥，從C點落到水平軌道上所用時間為t，由運動學公式，則有：
v⊥t+gt2=CD
v⊥=vsinα
聯立上式，結合題目數據，解得：t=