Question

如圖甲所示，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，讓質量為m、電量為q（q>0）的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中。不計粒子重力和粒子間的影響。

(1)若粒子以初速度v₁沿y軸正向入射，恰好能經過x軸上的A(a，0)點，求v₁的大小；
(2)已知某一粒子的初速度大小為v（v>v₁），為使該粒子仍能經過A(a，0)點，其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有幾個，并求出對應的sinθ值；
(3)如圖乙所示，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速v₀沿y軸正向發射。研究表明：該粒子將在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量v_x與其所在位置的y坐標成正比，比例系數與場強大小E無關。求該粒子運動過程中的最大速度值v_m？

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：(1)當粒子沿y軸正向入射，轉過半個圓周至A點，半徑R₁＝a/2
由運動定律有  
解得  
(2)如右圖所示，O、A兩點處于同一圓周上，且圓心在
x＝的直線上，半徑為R，當給定一個初速率v時，
有2個入射角，分別在第1、2象限。
即 sinθ′＝sinθ＝ 
另有  
解得 sinθ′＝sinθ＝
(3)粒子在運動過程中僅電場力做功，因而在軌道的最高點處速率最大，用y_m表示其y坐標，由動能定理有  qEy_m＝mv－mv
由題知 v_m＝ky_m
若E＝0時，粒子以初速度v₀沿y軸正向入射，有  qv₀B＝m
在最高處有 v₀＝kR₀
聯立解得