Question

【題目】如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”．它可等效為如圖乙所示的模型：豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質量為m的質點在軌道外側做完整的圓周運動，A、B兩點分別為軌道上的最高與最低點．質點受軌道的磁性引力始終指向圓心O且大小恒定，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．

(1)判斷質點運動過程中機械能是否守恒，并說明理由；

(2)若磁性引力的大小為10mg，質點在A點的速度為，求質點在該點對軌道的彈力；

(3)求滿足質點做完整圓周運動時磁性引力的最小值．

Answer 1

【答案】（1）機械能守恒 （2）10mg，方向豎直向下 （3）5mg

【解析】試題分析：因為質點運動過程中只有重力做功，所以質點的機械能守恒；在A點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對質點的彈力，再由牛頓第三定律得到質點對軌道的彈力．若磁性引力大小F可變，質點仍做完整圓周運動，質點在B點不脫離軌道即可，到達B點的速度最小，機械能守恒定律與牛頓第二定律求解。

（1）為質點運動過程中只有重力做功，所以質點的機械能守恒

（2）在A點時，設軌道對質點有向上的大小為FN的彈力．

根據牛頓第二定律得：

代入數據計算得出：FN=10mg

由牛頓第三定律得，質點對軌道的彈力大小為10mg，方向豎直向下．

（3）質點在B點不脫離軌道即可，當vA=0，到達B點的速度最小，

根據機械能守恒定律得：

設磁性引力為F，在B點有：

所以有：F=5mg+ FN

當FN=0時，磁性引力最小，故得：Fmin=5mg