Question

（2007?深圳二模）科學家在地球軌道外側發現了一顆繞太陽運行的小行星，經過觀測該小行星每隔t時間與地球相遇一次（即距離最近），已知地球繞太陽公轉半徑是R，周期是T，設地球和小行星都是圓軌道，且在同一個面同向轉動，求
（1）太陽的質量
（2）小行星與地球的最近距離．

Answer 1

分析：（1）地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解；
（2）該小行星每隔t時間與地球相遇一次，即t時間內地球多轉動一圈，可以求解出小行星的周期；然后根據萬有引力提供向心力列式求解出軌道半徑，兩個半徑之差為最小距離．

解答：解：地球繞太陽運動G

Mm

R2

=m

4π2R

T2

   
故太陽的質量為：M=

4π2R3

GT2

 
（2）設小行星運行周期為T₁，

t

T

-

t

T1

=1
對小行星，有：G

Mm1

R12

=m1

4π2R1

T12

 
解得：R1=

3	t2 (t-T)2 R

    
∴小行星與地球最近距離S=R₁-R=（

3	t2 (t-T)2

-1）R
答：（1）太陽的質量為

4π2R3

GT2

；
（2）小行星與地球的最近距離為（

3	t2 (t-T)2

-1）R．

點評：本題關鍵建立行星勻速圓周運動的模型，然后根據萬有引力提供向心力列式求解，不難．