Question

（2008?徐州三模）光滑的水平軌道AB，與半徑為R的光滑的半圓形軌道BCD相切于B點，其中圓軌道在豎直平面內，B為最低點，D為最高點．一質量為m的小球以初速度v₀沿AB運動，恰能通過最高點，則（　　）

A．R越大，v₀越大

B．R越大，小球經過B點后的瞬間對軌道的壓力越大

C．m越大，v₀越大

D．m與R同時增大，初動能E_k0增大

Answer 1

分析：小球恰能通過最高點時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球經最高點時的速度，根據動能定理求出初速度v₀與半徑R的關系．小球經過B點后的瞬間由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓運動定律研究小球對軌道的壓力與半徑的關系．

解答：解：
A、C小球恰能通過最高點時，則有mg=

v 2 D

R

，vD=

gR

，根據動能定理得，

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 D

+2mgR，得到v0=

5gR

，可見，R越大，v₀越大，而且v₀與小球的質量m無關．故A正確，C錯誤．
B、小球經過B點后的瞬間，N-mg=m

v 2 0

R

，得到軌道對小球的支持力N=mg+m

v 2 0

R

，R越大，N越小，小球經過B點后的瞬間對軌道的壓力也越小．故B錯誤．
D、初動能E_k0=

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 D

+2mgR=

5

2

mgR，得知m與R同時增大，初動能E_k0增大．故D正確．
故選AD

點評：動能定理與向心力知識綜合是常見的題型．小球恰好通過最高點時速度與輕繩模型類似，軌道對小球恰好沒有作用力，由重力提供向心力，臨界速度v=

gR

，做選擇題時可直接運用．