Question

【題目】如圖所示，有一間距為L且與水平方向成θ角的光滑平行軌道，軌道上端接有電容器和定值電阻，S為單刀雙擲開關(guān)，空間存在垂直軌道平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。將單刀雙擲開關(guān)接到a點(diǎn)，一根電阻不計(jì)、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒在軌道底端獲得初速度v0后沿著軌道向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，單刀雙擲開關(guān)接b點(diǎn)，經(jīng)過一段時(shí)間導(dǎo)體棒又回到軌道底端，已知定值電阻的阻值為R，電容器的電容為C，重力加速度為g，軌道足夠長，軌道電阻不計(jì)，求：

(1)導(dǎo)體棒獲得初速度v0時(shí)，電容器的帶電量；

(2)導(dǎo)體棒上滑過程中加速度的大小；

(3)若已知導(dǎo)體棒到達(dá)軌道底端的速度為v，求導(dǎo)體棒下滑過程中定值電阻產(chǎn)生的熱量和導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）導(dǎo)體棒獲得初速度v0時(shí)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv0求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，此時(shí)電容器板間電壓等于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而求得電容器的電壓，即可求得電容器的帶電量。
（2）根據(jù)電流的定義式、法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出感應(yīng)電流表達(dá)式，從而得到安培力表達(dá)式，再根據(jù)牛頓第二定律求得加速度。
（3）上滑過程導(dǎo)體棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出導(dǎo)體棒上滑的最大距離。對(duì)于下滑，運(yùn)用動(dòng)量定理和積分法求導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。由能量守恒定律求熱量。

（1）當(dāng)導(dǎo)體棒獲得初速度時(shí)將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電容器的電壓等于此時(shí)導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ，即

此時(shí)電容器的帶電量為：

（2）導(dǎo)體棒上滑的過程中，根據(jù)牛頓第二定律得：

又，

聯(lián)立解得：

（3）導(dǎo)體棒上滑過程中，有

導(dǎo)體棒下滑的過程中，由動(dòng)量定理得：

而

聯(lián)立解得：

導(dǎo)體棒下滑的過程中，由能量守恒定律得：

解得：