Question

【題目】如圖所示，在傾斜角為30°的光滑斜面上靜止放置兩個小球，它們的質量分別為M和m，它們的半徑分別為R和r。它們之間用長為的輕繩相連（圖中未畫出）。開始時緊靠在一起并鎖定于斜面上的A處，在斜面上的B處固定一個開有小孔的擋板，小孔半徑為R0(r<R0<R)，A、B間距離為，現解除對小球的鎖定，讓兩小球一起從靜止開始沿斜面下滑，b球取阻礙地通過小孔，而a球與擋板發生無機械損失的碰撞，a球碰撞后沿斜面向上運動，b球仍沿斜面向下運動，輕繩繃緊的時間極短，斜面足夠長，兩小球始終在斜面上運動，重力加速度g取10m/s2。

(1)求小球從A處由靜止開始一起沿下面下滑的加速度大小和它們到達擋板的速度的大小；

(2)若，求連接兩球的輕繩繃瞬間， 兩球共同速度v的大小和方向；

(3)若，試討論兩球共同速度v的方向與k值關系。

Answer 1

【答案】(1) (2) ，方向沿斜面向下 (3)當時,速度為零；當時，v沿斜面向上；當時,v沿斜面向下；

【解析】（1）設兩球一起運動的加速度大小為a，由牛頓第二定律得到：

解得：

由勻變速直線運動規律可知：

解得： 。

（2）a球與擋板發生五機械能損失的碰撞后速度為，設輕繩繃緊前瞬間小球的速度大小為和，從兩球到達小孔到輕繩繃緊的時間為t，這一過程中兩球的加速度相同，b球相對a球為勻速運動，則有：

對a球： ，對b球：

解得： （方向沿斜面向下）

（方向沿斜面向上）

由于輕繩繃緊時間極短，忽略重力沿斜面方向的分力，取沿斜面向下為正方向，由動量守恒定律得到：

在時，解得： ，方向沿斜面向下；

（3）若，由（2）問可知，

當時，

討論：當時，繩繃緊瞬間， 兩球瞬時速度為零；

當時， ，繩繃緊后， 兩球沿斜面向上運動；

當時， ，繩繃緊后， 兩球沿斜面向下運動；