Question

【題目】如圖所示，一個足夠長的斜面，AC部分的長度為4L，C點以下光滑，C點以上粗糙，B是AC的中點。一根原長為2L的輕彈簧下端固定在A點，上端放置一個長為L、質量為m的均勻木板PQ，木板靜止時，彈簧長度變為L。已知斜面的傾角為，木板與斜面粗糙部分的動摩擦因數，木板受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。現將木板沿斜面緩慢下壓，當彈簧長度變為L時，釋放木板，發現木板的Q端剛好能到達C點；將木板截短后，再次將木板沿斜面緩慢下壓，當彈簧長度變為L時，釋放木板，求：

⑴彈簧的勁度系數；

⑵若木板被截掉一半，木板上端到達C點時的速度大小；

⑶至少要將木板截掉多少，木板被釋放后能靜止在斜面上？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【解析】

當木板靜止時，對木板受力分析，運用平衡條件和胡克定律求彈簧的勁度系數；木板從被釋放至Q端到C點，利用動能定理列式．木板被截掉一半后再被彈簧彈開，再運用動能定理列式，聯立可得木板上端到達C點時的速度；木板剩下的越短，被彈簧彈開后越能靜止在斜面上．木板被彈開后恰好可以靜止在斜面上時，重力沿斜面向下的分力等于最大靜摩擦力．由此列式可得到截掉后剩余木板有一半在C點以上就可靜止在斜面上．再由動能定理求解。

⑴當木板靜止時，對木板受力分析，由力的平衡有

解得彈簧的勁度系數

⑵木板從被釋放至Q端到C點，設彈簧彈力做功為W，由動能定理有

木板被截掉一半后再被彈簧彈開，設木板上端到達C點時的速度為v，由動能定理有

解以上兩式得：

⑶木板剩下的越短，被彈簧彈開后越能靜止在斜面上。

設木板長為x時被彈開后恰好可以靜止在斜面上，此木板必然一部分在C點上方，一部分在C點下方。假設在C點上方的木板長度為a，則有

解得

這表明，截掉后剩余木板有一半在C點以上就可靜止在斜面上。剩余木板被彈開后直到靜止的過程中，由動能定理有

解得：

即木板被截下的長度至少為