Question

宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運動，火星半徑為R，今設飛船在極短時間內向外側點噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原速度的α倍，因α量很小，所以飛船新軌道不會與火星表面交會，如圖所示，飛船噴氣質量可忽略不計．
（1）試求飛船新軌道的近火星點的高度h_近，和遠火星點高度h_遠．
（2）設飛船原來的運動速度為v₀，試計算新軌道的運行周期T．

Answer 1

分析：（1）根據開普勒定律中的面積定律、機械能守恒定律、牛頓第二定律列式后聯立求解；
（2）根據開普勒定律中的周期定律列式求解．

解答：解：（1）設火星和飛船的質量分別為M和m，飛船沿橢圓軌道運行時，飛船在最近點或最遠點與火星中心的距離為r，飛船速度為v．
因飛船噴氣前繞圓軌道的面積速度為

1

2

r0v0，等于噴氣后飛船繞橢圓軌道在P點的面積速度

1

2

r0vpsinθ（P為圓和橢圓的交點），
由開普勒第二定律，后者又應等于飛船在近、遠火星的面積速度

1

2

rv，
故

1

2

r0v0=

1

2

r0vpsinθ=

1

2

rv
即　r₀v₀=rv　　       　  ①
由機械能守恒定律　

1

2

mv2-G

Mm

r

=

1

2

m(

v

2 0

+a2

v

2 0

)-G

Mm

r0

                ②
飛船沿原圓軌道運動時，有　G

Mm

r 2 0

=m

v 2 0

r0

                                   ③
式中　r₀=R+H，r=R+h
上述三個方程消去G、M、v₀后可解得關于r的方程為(1-α2)r2-2r0r+

r

2 0

=0
上式有兩個解，大者為r_遠，小者為r_近，即

r近= r0 1+α = R+H 1+α r遠= r0 1-α = R+H 1-α

故近、遠火星點距火星表面的高度為h近=r近-R=

H-αR

1+α

，h遠=r遠-R=

H+αR

1-α

，
（2）設橢圓軌道的半長軸為a，則r_近+r_遠=2a
即　　a=

r0

1-α2

飛船噴氣前繞圓軌道運行的周期為　　T0=

2πr0

v0

設飛船噴氣后，繞橢圓軌道運行的周期為T，由開普勒第三定律得　　

T

T0

=(

a

r0

)3/2
故T=T0(

a

r0

)3/2=

2πr0

v0

(

1

1-α2

)3/2
T=

2π(R+H)

v0

(

1

1-α2

)3/2
答：（1）試求飛船新軌道的近火星點的高度h_近為

H-αR

1+α

，遠火星點高度h_遠為

H+αR

1-α

；
（2）計算新軌道的運行周期T為

2π(R+H)

v0

(

1

1-α2

)3/2．

點評：本題是開普勒定律和機械能守恒定律的綜合運用問題，目前對于開普勒三定律，多數省份是不要求定量計算的，較難．