Question

如圖所示，在平面直角坐標系中有一個垂直紙面向里的圓形勻強磁場，其邊界過原點O和y軸上的點a（0，L）．一個質量為m、電荷量為e的電子從a點以初速度v₀平行于x軸正方向射入磁場，并從x軸上的b點射出磁場，此時速度方向與x軸正方向的夾角為60°．不計電子重力．求：
（1）電子在磁場中運動的半徑R及時間t；
（2）磁場區域的圓心坐標；
（3）若在電子到達b點時撤掉磁場的同時在第四象限加入一大小E=

4m v 2 0

eL

，方向與x軸正方向成30⁰的勻強電場，如圖所示，則電子離開電場通過y軸的坐標．

Answer 1

分析：帶電粒子在勻強磁場中在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運動；當進入勻強電場時，正好做類平拋運動．所以由幾何關系可確定運動圓弧的半徑與已知長度的關系，從而確定圓磁場的圓心，并能算出粒子在磁場中運動時間．當做類平拋運動時，可將運動軌跡進行運動分解的處理，從而能算出粒子離開電場時的坐標．

解答：解：（1）電子的軌跡半徑為R，由幾何知識，Rsin30°=R-L，得R=2L．（1）
電子在磁場中運動時間   t=

T

6

 （2）
而        T=

2πR

v0

    （3）
得   t=

2πL

3v0

   （4）
（2）設磁場區域的圓心坐標為（x，y）
其中 x=

1

2

Rcos30°=

3

2

L   （5）
   y=

L

2

          （6）
所以磁場圓心坐標為  （

3

2

L，

L

2

）  （7）
（3）電子進入電場做類平拋運動從y軸上的c點射出，如圖所示．

    R+O′Csin30°=

1

2

at2  （8）
其中        a=

eE

m

     （9）
    R+O′Ccos30°=v₀t   （10）
由（1）（8）（9）（10）聯立得    O′C=

4

3

L
而    OC=O′C+OO′=L+

4

3

L=

7

3

L    
故坐標為（0，

7

3

L）

點評：通過題意剛好得出帶電粒子在電場中做類平拋運動，這是本題的突破點．當得出這一條件時，則粒子在磁場中運動軌跡可以確定，從而求出圓磁場的圓心位置，再運用平拋運動規律來運動分解處理．