Question

如圖所示，間距為l的兩條足夠長的平行金屬導軌與水平面的夾角為，導軌光滑且電阻忽略不計.場強為B的條形勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁場區域的寬度為d₁，間距為d₂，兩根質量均為m、有效電阻均勻為R的導體棒a和b放在導軌上，并與導軌垂直.（設重力加速度為g）

（1）若a進入第2個磁場區域時，b以與a同樣的速度進入第1個磁場區域，求b穿過第1個磁場區域過程中增加的動能.

（2）若a進入第2個磁場區域時，b恰好離開第1個磁場區域;此后a離開第2個磁場區域時，b又恰好進入第2個磁場區域.且a、b在任意一個磁場區域或無磁場區域的運動時間均相等.求a穿過第2個磁場區域過程中，兩導體棒產生的總焦耳熱Q.

（3）對于第（2）問所述的運動情況，求a穿出第k個磁場區域時的速率v.

Answer 1

(1)mgd₁sinθ  (2)mg(d₁+d₂)sinθ  (3) -

解析：(1)a和b不受安培力的作用,由機械能守恒知

ΔE_k=mgd₁sinθ.                                                      ①

(2)設導體棒剛進入無磁場區域時的速度為v₁,剛離開無磁場區域時的速度為v₂,由能量守恒知

在磁場區域中mv₁²+Q=mv₂²+mgd₁sinθ                                ②

在無磁場區域中mv₂²=mv₁²+mgd₂sinθ                                ③

解得Q=mg(d₁+d₂)sinθ.                                                 ④

(3)在無磁場區域,根據勻變速直線運動規律

v₂-v₁=gtsinθ                                                           ⑤

且平均速度                                               ⑥

有磁場區域,棒a受到合力F=mgsinθ-BIl                                   ⑦

感應電動勢E=Blv                                                      ⑧

感應電流I=                                                       ⑨

解得F=mgsinθ-                                                  ⑩

根據牛頓第二定律,在t到t+Δt時間內

∑Δv=∑Δt                                                          

則有∑Δv=∑［gsinθ-］Δt                                        

解得v₁-v₂=gtsinθ-D.₁.                                             

聯立⑤⑥式,解得

v₁=

由題意知,

v=v₁=.