Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來（如圖甲）．我們把這種情況抽象為圖乙的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端無初速滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動（不計摩擦和空氣阻力），其中A、B分別為圓軌道的最低點和最高點．若質量為m的小球從曲面軌道上的P點由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點A．已知P點與B點的高度差h=3R，求：
（1）小球通過B時速度有多大？
（2）小球通過B點時受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運動中需要考慮摩擦和空氣阻力，當小球從P點由靜止開始下滑，且剛好通過最高點A，則小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）欲求B點的速度，只需對于P到B過程應用動能定理或者是機械能守恒都可以；
（2）先以小球為研究對象，利用牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力
（3）首先求出剛好能通過最高點A點時的臨界速度，再應用動能定理就可以了．

解答：解：（1）設小球在最低點的速度為V，由動能定理得：
       mgh=

1

2

mv²
       得V=

2gh

=

6gR

  
（2）在B點由向心力定義和牛頓第二定律得：
     F-mg=m

v2

R

     聯立得F=7mg
 （3）設小球剛好在A點的速度為V₀，由向心力定義和牛頓第二定律得：
      mg=m

v 2 0

R

    即V₀=

gR

      設小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功W，由動能定理得：
       mg（h-2R）+W=

1

2

mV₀²
       得  W=-0.5mgR
      所以小球克服阻力做功0.5mgR
答：（1）小球通過最低點B時速度V=

6gR

    （2）小球通過B點時受到圓軌道的壓力F′=7mg
    （3）小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為0.5mgR．

點評：本題考查動能定理和圓周運動中向心力的分析，第三問中小球在A點的臨界速度是關鍵．這是一道綜合性較強的好題．