Question

用長L=1.6m的細(xì)繩，一端系著質(zhì)量M=1kg的木塊，另一端掛在固定點(diǎn)上�，F(xiàn)有一顆質(zhì)量m=20g的子彈以v₁=500m／s的水平速度向木塊中心射擊，結(jié)果子彈穿出木塊后以v₂=100m／s的速度前進(jìn)。問木塊能運(yùn)動到多高？（取g=10m／s²，空氣阻力不計(jì)）

Answer 1

2.96m

【錯(cuò)解分析】錯(cuò)解：在水平方向動量守恒，有
mv₁=Mv+mv₂                     (1)
式①中v為木塊被子彈擊中后的速度。木塊被子彈擊中后便以速度v開始擺動。由于繩子對木塊的拉力跟木塊的位移垂直，對木塊不做功，所以木塊的機(jī)械能守恒，即
     （2）
h為木塊所擺動的高度。解①，②聯(lián)立方程組得到
v=8(m/s)
h=3.2(m)
【錯(cuò)解原因】這個(gè)解法是錯(cuò)誤的。h=3.2m，就是木塊擺動到了B點(diǎn)。如圖所示。則它在B點(diǎn)時(shí)的速度v_B。應(yīng)滿足方程


這時(shí)木塊的重力提供了木塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動所需要的向心力。解上述方程得
（m/s）
如果v_B＜4 m/s，則木塊不能升到B點(diǎn)，在到達(dá)B點(diǎn)之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運(yùn)動。而木塊在B點(diǎn)時(shí)的速度v_B=4m/s，是不符合機(jī)械能守恒定律的，木塊在 B點(diǎn)時(shí)的能量為(選A點(diǎn)為零勢能點(diǎn))
木塊在A點(diǎn)時(shí)的能量為


兩者不相等�？梢娔緣K升不到B點(diǎn)，一定是h＜3.2 m。
實(shí)際上，在木塊向上運(yùn)動的過程中，速度逐漸減小。當(dāng)木塊運(yùn)動到某一臨界位置C時(shí)，如圖所示，木塊所受的重力在繩子方向的分力恰好等于木塊做圓周運(yùn)動所需要的向心力。此時(shí)繩子的拉力為零，繩子便開始松弛了。木塊就從這個(gè)位置開始，以此刻所具有的速度v_c作斜上拋運(yùn)動。木塊所能到達(dá)的高度就是C點(diǎn)的高度和從C點(diǎn)開始的斜上拋運(yùn)動的最大高度之和。
【正解】如上分析，從式①求得v_A=v=8m/s。木塊在臨界位置C時(shí)的速度為v_c，高度為
h′=l(1+cosθ) 如圖所示，

根據(jù)機(jī)船能守恒定律有
         ③
又，即    ④
從式③和式④得


所以
木塊從C點(diǎn)開始以速度v_c做斜上拋運(yùn)動所能達(dá)到的最大高度h″為

所以木塊能達(dá)到的最大高度h為

【點(diǎn)評】物體能否做圓運(yùn)動，不是我們想象它怎樣就怎樣這里有一個(gè)需要的向心力和提供向心力能否吻合的問題，當(dāng)需要能從實(shí)際提供中找到時(shí)，就可以做圓運(yùn)動。所謂需要就是符合牛頓第二定律F_向=ma_向的力，而提供則是實(shí)際中的力若兩者不相等，則物體將做向心運(yùn)動或者離心運(yùn)動。