Question

（2011?鄭州一模）如圖所示，兩平行金屬板A、B長度l=0.8m，間距d=0.6m．直流電源E能提供的最大電壓為9×10⁵V，位于極板左側中央的粒子源可以沿水平方向向右連續發射比荷為q/m=l×10⁷C/kg、重力不計的帶電粒子，射人板間的粒子速度均為v₀=4×10⁶m/s．在極板右側有一個垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=lT，分布在環帶區域中，該環帶的內外圓的圓心與兩板間的中心重合于O點，環帶的內圓半徑R_l=

2

m．將變阻器滑動頭由a向b慢慢滑動，改變兩板間的電壓時，帶電粒子均能從不同位置穿出極板射向右側磁場，且兩板間電壓最大時，對應的粒子恰能從極板右側邊緣穿出． 
（1）問從板間右側射出的粒子速度的最大值v_m是多少？
（2）若粒子射出電場時，速度的反向延長線與v₀所在直線交  于O′點，試用偏轉運動相關量證明O′點與極板右端邊緣的水平距離x=

1

2

，即O′與0重合，所有粒子都好像從兩板的中心射 出一樣． 
（3）為使粒子不從磁場右側穿出，求環帶磁場的最小寬度d．

Answer 1

分析：（1）由動能定理研究粒子從進極板到處極板的過程求解．
（2）根據類平拋運動的規律研究粒子在水平方向和豎直方向的運動，列出運動學等式結合幾何關系證明．
（3）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，畫出粒子剛好不出磁場的臨界軌跡圖，根據洛倫茲力提供向心力結合幾何關系求解．

解答：解：（1）由動能定理研究粒子從進極板到處極板的過程：

qU

2

=

1

2

mv_m²-

1

2

mv₀²
解出v_m=5×10⁶m/s   
（2）證明：如圖，設粒子在電場中的側移為y，則

x

y

=

v0

vy

 
根據類平拋運動的規律研究粒子在水平方向和豎直方向的運動，
列出運動學等式：
l=v₀t     y=

vy

2

 t   
  聯立解得x=

l

2

（3）設環帶外圓半徑為R₂，
所求d=R₂-R₁    
 粒子進入磁場后做勻速圓周運動，粒子剛好不出磁場的臨界軌跡如圖，
根據幾何關系得：
  R₁²+r_m²=（R₂-r_m）²   
根據洛倫茲力提供向心力得：
qv_mB=m

v 2 m

rm

  
 聯立解得：d=（2-

2

）m=0.586m  
答：（1）從板間右側射出的粒子速度的最大值是5×10⁶m/s  
（2）證明如上．
（3）環帶磁場的最小寬度是0.586m．

點評：本題主要考查了帶電粒子分別在電場和磁場中的運動情況，當兩極間加上電壓時，粒子做類平拋運動，根據類平拋運動規律求解問題．粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．