Question

如圖，傾角為θ的斜面固定．有n個質量都為m的相同的小木塊（可視為質點）放置在斜面上．相鄰兩小木塊間距離都為l，最下端的木塊距底端也是l，小木塊與斜面間的動摩擦因數都為μ．在開始時刻，第一個小木塊從斜面頂端以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止，由于第一個木塊的下滑將依次引起一系列的碰撞．設每次碰撞的時間極短，在每次碰撞后，發生碰撞的木塊都粘在一起運動，直到最后第n個木塊到達底端時，速度剛好為零．已知重力加速度為g．求：
（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小v；
（2）從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統損失的機械能△E；
（3）發生一系列碰撞后，直到最后第n個木塊到達底端，在整個過程中，由于碰撞所損失的總機械能△E_總．

Answer 1

分析：（1）由動能定理可求出小木塊1碰前的速度，再由動量守恒可求出小木塊1碰撞后的速度大小；
（2）碰撞前因摩擦力做功，導致小木塊機械能損失；再求出碰撞后小木塊動能的減小導致機械能損失；從而兩者之和即為從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統損失的機械能；
（3）通過力做功表達式求出碰撞整個過程中，重力、摩擦力做功；再根據功能關系可求出在碰撞中總機械能損失．

解答：解：（1）設小木塊1碰前的速度為v₁，從開始運動到碰前，
根據動能定理：mglsinθ-μmglcosθ=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

    對小木塊1和2，由動量守恒  mv₁=2mv      
    則有    v=

1

2

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

  
（2）碰撞前損失的機械能為△E₁=μmglcosθ    
    因碰撞損失的機械能為   △E2=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

?2mv2    
   則有△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

2 0

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)
   （3）對n個木塊碰撞的全過程
    重力做的總功     W_G=mglsinθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

mglsinθ
    克服摩擦做的總功
      W_f=μmglcosθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

μmglcosθ      
    根據功與能的關系   WG+

1

2

m

v

2 0

=Wf+△E總   
     由以上各式求出   △E總=

1

2

m

v

2 0

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）    
答：（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小 v=

1

2

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

；
（2）從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統損失的機械能△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

2 0

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)；
（3）發生一系列碰撞后，直到最后第n個木塊到達底端，在整個過程中，由于碰撞所損失的總機械能  △E總=

1

2

m

v

2 0

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）．

點評：本題是力學綜合題，考查動能定理、動量守恒定律、功的公式、功與能關系等規律，同時動量守恒定律注意矢量性及功的正負．