Question

【題目】一玻璃立方體中心有一點光源，現在立方體的部分表面鍍上不透光薄膜，以致從光源發出的光線只經一次折射不能透出立方體，已知該玻璃的折射率為，鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值為________。

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：通過光線在鍍膜部分發生全反射，根據臨界情況，通過幾何關系求出鍍膜面積與立方體表面積之比的最小值．

如圖，考慮從玻璃立方體中心O點發出的一條光線，假設它斜射到玻璃立方體上表面發生折，根據折射定律有： ，式中，n是玻璃的折射率，入射角等于， 是折射角，現假設A點是上表面面積最小的不透明薄膜邊緣上的一點．由題意，在A點剛好發生全反射，故．設線段OA在立方體上表面的投影長為R，由幾何關系有．式中a為玻璃立方體的邊長，聯立解得．則，由題意，上表面所鍍的面積最小的不透明薄膜應是半徑為RA的圓．所求的鍍膜面積S'與玻璃立方體的表面積S之比為．