Question

【題目】如圖所示,在xOy平面直角坐標系內y軸與垂直x軸的MN邊界之間,以x軸為分界線,分別在第Ⅰ、Ⅳ象限有垂直于紙面向外的勻強磁場。第Ⅰ象限內磁場的磁感應強度大小為B0.第Ⅱ象限內有沿x軸正方向的勻強電場,電場強度大小為E. 質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從第Ⅱ象限內某點由靜止釋放,從y軸上的A點進入磁場,經x軸上的B點第一次進入x軸下方的磁場。若已知A點的坐標是(0,a),B點的坐標是(3a,0)，

不考慮粒子重力。

(1)求粒子釋放位置與y軸的距離；

(2)若粒子經x軸上方的磁場偏轉后不經過y軸仍能回到x軸上方的磁場，求x軸下方磁場的磁感應強度大小應滿足的條件；

(3)若x軸下方區域的磁感應強度大小為3B0，且粒子最終垂直于MN邊界出射，求MN與x軸交點的坐標。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）MN與x軸交點的坐標是（4na，0）（其中n=1，2，3…）

【解析】

（1）設粒子釋放位置與y軸的距離為d，粒子在第一象限磁場中做圓周運動的半徑為r，畫出粒子運動軌跡的示意圖，如圖所示，

在電場中做勻加速運動，根據動能定理：①

可得：

粒子在磁場中做圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力可得：②

根據幾何關系：(r-a)2+(3a)2=r2③

可得：r=5a

聯立①②③式可得：

（2）設粒子進入磁場時與x軸之間的夾角為θ，則粒子在第一象限內的磁場中轉過的角度也為θ，

根據幾何關系：，可得：θ=53°

要使粒子經x軸上方的磁場偏轉后不經過y軸仍能回到x軸上方的磁場，臨界情況如圖所示，

要使粒子經x軸上方的磁場偏轉后不經過y軸仍能回到x軸上方的磁場

需滿足：3a≥R（1+cos37°） ④

根據洛倫茲力提供向心力可得：⑤

聯立②③④⑤式可得x軸下方磁場的磁感應強度B的大小滿足：

（3）設當x軸下方區域的磁感應強度大小為3B0時粒子半徑為R′，

根據洛倫茲力提供向心力：⑥

聯立②⑥式可得：

畫出粒子運動軌跡的示意圖如圖所示，

設粒子的速度方向再次與射入磁場時的速度方向一致時的位置為A1，則A與A1的連線與x軸平行，AA1=6a-2 R′sin530

根據幾何關系有：AA1=4a

所以粒子最終垂直MN邊界飛出，邊界MN與y軸間距為

L=nAA1=4 na（其中n=1，2，3…）

即：MN與x軸交點的坐標是（4na，0）（其中n=1，2，3…）