Question

【題目】人類對(duì)未知事物的好奇和科學(xué)家們的不懈努力，使人類對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí)越來(lái)越豐富。

(1)開(kāi)普勒?qǐng)?jiān)信哥白尼的“日心說(shuō)”，在研究了導(dǎo)師第谷在20余年中堅(jiān)持對(duì)天體進(jìn)行系統(tǒng)觀測(cè)得到的大量精確資料后，提出了開(kāi)普勒三定律，為人們解決行星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題提供了依據(jù)，也為牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律提供了基礎(chǔ)。

開(kāi)普勒認(rèn)為：所有行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。行星軌道半長(zhǎng)軸的三次方與其公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個(gè)常量。實(shí)際上行星的軌道與圓十分接近，在中學(xué)階段的研究中我們按圓軌道處理。請(qǐng)你以地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)為例，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)出此常量的表達(dá)式。

(2)天文觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在銀河系中，由兩顆相距較近、僅在彼此間引力作用下運(yùn)行的恒星組成的雙星系統(tǒng)很普遍。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，兩顆恒星之間的距離為d，引力常量為G。求此雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。

(3)北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，由全球200多位科學(xué)家合作得到的人類首張黑洞照片面世，引起眾多天文愛(ài)好者的興趣。

同學(xué)們?cè)诓殚喯嚓P(guān)資料后知道：①黑洞具有非常強(qiáng)的引力，即使以3×108m/s的速度傳播的光也不能從它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍，這個(gè)關(guān)系對(duì)于其他天體也是正確的。③地球質(zhì)量me =6.0×1024kg，引力常量G= 6.67×10-11N m 2/ kg 2。

請(qǐng)你根據(jù)以上信息，利用高中學(xué)過(guò)的知識(shí)，通過(guò)計(jì)算求出：假如地球變?yōu)楹诙矗�在質(zhì)量不變的情況下，地球半徑的最大值（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）。（注意：解題過(guò)程中需要用到、但題目沒(méi)有給出的物理量，要在解題時(shí)做必要的說(shuō)明）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 9×10-3m

【解析】

⑴設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為ms，地球質(zhì)量為me，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的半徑為r

太陽(yáng)對(duì)地球的引力是地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律

解得常量

⑵設(shè)雙星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2

根據(jù)萬(wàn)有引力定律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律

且有

雙星總質(zhì)量

⑶設(shè)地球質(zhì)量為me，地球半徑為R。質(zhì)量為m的物體在地球表面附近環(huán)繞地球飛行時(shí)，環(huán)繞速度為v1

由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律

解得

逃逸速度

假如地球變?yōu)楹诙?/span>

v2≥c

代入數(shù)據(jù)解得地球半徑的最大值

R=9×10-3m