Question

（2006?南通一模）如圖所示，ABC是由折射率為

2

的某種透明物質制成的直角三棱鏡橫截面（O為AB的中點），∠A=30°．一束光線在紙面內從O點射入棱鏡，光線與AB面間的夾角為α．若不考慮光線在AB和BC面上的反射，則：
（1）若α=45°，請作出光路圖并標明相應角度．
（2）要使射入O點的光線能從AC面射出，夾角α（0°＜α＜90°）應滿足什么條件？結果可用反三角函數表示．

Answer 1

分析：（1）先根據折射定律求出光線射入AB面后的折射角，由幾何知識求出AC面上的入射角，與臨界角比較，判斷能否發生全反射，再畫出光路圖．
（2）要使射入O點的光線能從AC面射出，AC面上的入射角應小于臨界角．由幾何關系求出AC面上恰好發生全反射時，AB面上折射角，再折射定律和全反射條件列式求解．

解答：解：（1）光線射向AB面的入射角i=45°，由折射定律有

sini

sinr

=

2

，解得  r=30°
設該透明物質的臨界角為C，則sinC=

1

2

，解得  C=45°
光線射向AC面的入射角θ₁=90°-r=60°＞C，故發生全反射．
而θ₂=θ₁，故反射光線垂直于BC面從棱鏡射出，光路圖如下圖．

（2）由幾何關系可知，射向AC面的光線恰好發生全反射時r=15°，設此時α=α₁，則有
  

sin(90o-α1)

sin15o

=

2

  ①
解得α1=90o-arcsin(

2

sin15o)  ②
當α角為90°時，射向AC的光線入射角30°，不會發生全反射，故要使射入O點的光線能從AC面射出，夾角α應滿足
  90o-arcsin(

2

sin15o)＜α＜90o  ③
答：
（1）若α=45°，作出光路圖如圖．
（2）要使射入O點的光線能從AC面射出，夾角α（0°＜α＜90°）應滿足的條件是：90o-arcsin(

2

sin15o)＜α＜90o．

點評：本題考查幾何光學，關鍵掌握光的折射定律以及臨界角與折射率的大小關系．