Question

【題目】如圖所示,長L=9 m的傳送帶與水平方向的傾角θ=37°,在電動機的帶動下以v=4 m/s的速率沿順時針方向運行,在傳送帶的B端有一離傳送帶很近的擋板P可將傳送帶上的物塊擋住,在傳送帶的頂端A點無初速度地放一質量m=1 kg的物塊,它與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5,物塊與擋板碰撞的能量損失及碰撞時間不計.(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8) 求物體從靜止釋放到第一次返回上升至最高點的過程中：

(1)系統因摩擦產生的熱量；

(2)傳送帶多消耗的電能；

(3)物體的最終狀態及該狀態后電動機的輸出功率．

Answer 1

【答案】(1)100.8 J　 (2)76.8J (3)16 W

【解析】

(1)物塊從A點由靜止釋放,物塊相對傳送帶向下滑,物塊沿傳送帶向下加速運動的速度a1=gsin θ-μgcos θ=2 m/s2

與P碰前的速度大小v1==6 m/s,

物塊從A到B的時間t1==3 s

在此過程中物塊相對傳送帶向下的位移s1=L+vt1=21 m

物塊與擋板碰撞后,以大小為v1的速度反彈,因v1>v,物塊相對傳送帶向上滑,物塊向上做減速運動的加速度大小為a2=gsin θ+μgcos θ=10 m/s2

物塊速度減小到與傳送帶速度相等的時間t2==0.2 s,

在t2時間內物塊向上的位移L1=t2=1 m

此過程中物塊相對傳送帶向上的位移s2=L1-vt2=0.2 m

物塊速度與傳送帶速度相等后相對傳送帶向下滑,物塊向上做減速運動的加速度大小

a3=gsin θ-μgcos θ=2 m/s2,

物塊速度減小到零的時間t3==2 s,

在t3時間內物塊向上的位移L2=t3=4 m

此過程中物塊相對傳送帶向下的位移s3=vt3-L2=4 m

摩擦生熱Q=μmg(s1+s2+s3)cos θ=100.8 J

(2)多消耗的電能等于傳送帶克服摩擦力做的總功

ΔE電＝－Ff(x傳送帶1－x傳送帶2＋x傳送帶3)＝－μmgcosθ(vt1－vt2＋vt3)＝－76.8J

即傳送帶多消耗的電能為76.8J.

(3)物體返回上升到最高點時速度為零，以后將重復上述過程，且每次碰后反彈速度、上升高度依次減小，最終達到一個穩態：穩態的反彈速度大小應等于傳送帶速度4m/s，此后受到的摩擦力總是斜向上，加速度為a4=gsinθ－μgcosθ＝2m/s2，方向斜向下，物體相對地面做往返“類豎直上拋”運動，對地上升的最大位移為xm＝＝4m，往返時間為T＝＝4s；傳送帶受到的摩擦力大小始終為Ff＝μmgcosθ，穩態后方始終斜向下，故電動機的輸出功率穩定為P＝Ffv＝μmgcosθ×v＝16W.