Question

【題目】如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求:

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；

（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系。

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】試題分析：（1）由法拉第電磁感應定律，求出感應電動勢；再與相結合求出電荷量與速度的關系式．

（2）由左手定則來確定安培力的方向，并求出安培力的大小；借助于、及牛頓第二定律來求出速度與時間的關系．

解：（1）設金屬棒下滑的速度大小為v，則感應電動勢為E=BLv，

平行板電容器兩極板之間的電勢差為U=E，

設此時電容器極板上積累的電荷量為Q，

按定義有，

聯立可得，Q=CBLv．

（2）設金屬棒的速度大小為v時，經歷的時間為t，通過金屬棒的電流為i，

金屬棒受到的磁場力方向沿導軌向上，大小為f1=BLi，

設在時間間隔（t，t+△t）內流經金屬棒的電荷量為△Q，

則△Q=CBL△v，

按定義有：，

△Q也是平行板電容器極板在時間間隔（t，t+△t）內增加的電荷量，

由上式可得，△v為金屬棒的速度變化量，

金屬棒所受到的摩擦力方向沿導軌斜面向上，

大小為：f2=μN，式中，N是金屬棒對于導軌的正壓力的大小，

有N=mgcosθ，

金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下，

設其大小為a，

根據牛頓第二定律有：mgsinθ﹣f1﹣f2=ma，

即：mgsinθ﹣μmgcosθ=CB2L2a+ma；

聯立上此式可得：．

由題意可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運動，t時刻金屬棒的速度大小為．

答：（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系為Q=CBLv；

（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系．