Question

如圖所示，一半徑為R的半圓形光滑軌道放在水平面上，A為軌道與水平面的切點，A左邊的水平面是光滑的，半圓形光滑軌道固定．一個質量為m的小球以某一速度沖上軌道，小球落地點為C．當小球將要從軌道口飛出時，軌道的壓力恰好為零．
求：（1）小球落地點C與A的距離．
（2）小球在A的速度大小．
（3）小球對A點的壓力大小．

Answer 1

分析：當小球將要從軌道口飛出時，軌道的壓力恰好為零，小球做圓周運動，只有重力提供向心力，因此求出這時小球的速度，小球以此速度做平拋運動，由B到C由平拋運動規律求C到A的距離，由B到A由機械能守恒定律求出A點的速度，在A點由向心力公式求小球受到的支持力，再求壓力．

解答：解：（1）、設小球在B點速度為V_B，軌道的壓力恰好為零，只有重力提供向心力，由牛頓第二定得：mg=

m  v 2 B

R

，
再設小球在B運動到點C的時間為t，點C與A的距離為X，由平拋運動規律得：
        X=V_Bt                           
        2R=

1

2

gt2     
    聯立以上三式 解得X=2R．       
（2）、設小球在A的速度大小為V_A，由機械能守恒定律得：

1

2

mV_A²=

1

2

m V_B²+mg×2R               
代入V_B解得：V_A=

5gR

．                    
（3）、設小球受A軌道支持力大小為F，
由牛頓第二定律得：
F-mg=

m v 2 A

R

                    
 代入v_A 解得：F=6mg                       
 根據牛頓第三定律得小球對A點的壓力大小為6mg．
答：（1）小球落地點C與A的距離2R．
   （2）小球在A的速度大小

5gR

．
   （3）小球對A點的壓力大小6mg．

點評：解答此題關鍵是分析小球的運動過程，明確小球分別在B、A的受力，選用牛頓第二定律求解，A到B的過程機械能守恒，B到C的過程做平拋運動．