Question

（2008?上海）如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬球，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B．現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，高平行軌道中夠長．已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂．
（1）求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大小．
（2）若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂．
（3）若將磁場II的CD邊界略微下移，導體棒ab剛進入磁場II時速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式．

Answer 1

分析：（1）導體棒受到重力和安培力的作用，注意此時導體棒的有效切割長度和外電路的串并聯情況．
（2）導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，說明導體棒勻速運動，導體棒在下落h的過程中做勻變速直線運動，根據運動規律可求出下落距離h，根據并聯電路可知R₂上消耗的功率占整個電路的

3

4

，總電功率等于導體棒重力功率．
（3）正確進行受力分析，注意安培力的表達式，然后根據牛頓第二定律求解即可．

解答：解：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，導體棒ab從A下落

r

2

時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律，得：
mg-BIL=ma，式中l=

3

r，I=

Blv1

R總

式中：R總=

8R×(4R+4R)

8R+(4R+4R)

=4R
由以上各式可得到：a=g-

3B2r2v1

4mR

故導體棒ab從A下落

r

2

時的加速度大小為：a=g-

3B2r2v1

4mR

．
（2）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即：mg=BI×2r=B×

B×2r×vt

R并

×2r=

4B2r2vt

R并

式中：R并=

12R×4R

12R+4R

=3R
解得：vt=

mgR并

4B2r2

=

3mgR

4B2r2

導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有v_t²-v₂²=2gh，
得：h=

9m2gr2

32B4r4

-

v 2 2

2g

，
此時導體棒重力的功率為：PG=mgvt=

3m2g2R

4B2r2

，
根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率，即P_電=P₁+P₂=P_G=

3m2g2R

4B2r2

，
所以，P2=

3

4

PG=

9m2g2R

16B2r2

，
故磁場I和II之間的距離h=

9m2gr2

32B4r4

-

v 2 2

2g

，和R₂上的電功率P2=

9m2g2R

16B2r2

．
（3）設導體棒ab進入磁場II后經過時間t的速度大小為v'_t，此時安培力大小為：F′=

4B2r2v′t

3R

由于導體棒ab做勻加速直線運動，有v'_t=v₃+at
根據牛頓第二定律，有
F+mg-F′=ma
即：F+mg-

4B2r2(v3+at)

3R

=ma
由以上各式解得：F=

4B2r2

3R

(at+v3)-m(g-a)=

4B2r2a

3R

t+

4B2r2v3

3R

+ma-mg
故所加外力F隨時間變化的關系式為：F=

4B2r2a

3R

t+

4B2r2v3

3R

+ma-mg．

點評：本題考查了關于電磁感應的復雜問題，對于這類問題一定要做好電流、安培力、運動情況、功能關系這四個方面的問題分析．