Question

（2011?深圳二模）細管AB內壁光滑、厚度不計，加工成如圖所示形狀，長L=0.8m的BD段固定在豎直平面內，其B端與半徑R=0.4m的光滑圓弧軌道

BP

平滑連接，CD段是半徑R=0.4m的

1

4

圓弧，AC段在水平面上，與長S=1.25m、動摩擦因數μ=0.25的水平軌道AQ平滑相連，管中有兩個可視為質點的小球a、b，m_a=3m_b．開始b球靜止，a球以速度v₀向右運動，與b球發生彈性碰撞之后，b球能夠越過軌道最高點P，a球能滑出AQ．（重力加速度g取10m/s²，

6

≈2.45）．求：
①若v₀=4m/s，碰后b球的速度大小；
②若v₀未知，碰后a球的最大速度；
③若v₀未知，v₀的取值范圍．

Answer 1

分析：①、a、b過程中動量和機械能都守恒，分別用動量守恒和機械能守恒列式求解即可．
②、要想讓a球能滑出AQ，則a球與b球碰撞后，a球不能超過B點，否則a球會進入半圓形軌道，就不會經過AQ．a球碰撞后直至B的過程中，機械能守恒．應用機械能守恒定律可求出碰后a球的最大速度．
③、要使b球能順利經過最高點，則在最高點時有v≥

gR

，由此可應用機械能守恒求出b球碰撞后的最小速度．從而求出a球碰撞前的最小速度（注意：還要兼顧a球滑出AQ）．要使a球滑出AQ，則a球至少要達到一定的速度才行，由運動學公式可求出此條件．碰后a上升的高度不能超過（L+R），否則a球就不會返回經過AQ，結合第二問可求出a球的最大速度．

解答：解：
①、a、b碰撞過程中，以a、b組成的系統為研究對象，經受力分析，系統動量守恒．選向右的方向為正，設a、b碰后瞬間速度為v_a1、v_b1，由動量守恒得：
m_av₀=m_av_a1+m_bv_b1…①
因a、b的碰撞是彈性碰撞，所以碰撞過程中機械能守恒，有：

1

2

ma 

v

2 0

=

1

2

ma 

v

2 a1

+

1

2

mb

v

2 b1

…②
①②兩式聯立解得：va1=

ma-mb

ma+mb

v0=2m/s
                  vb1=

2ma

ma+mb

v0=6m/s
②、因a球能滑出AQ，故a與b碰后，a上升的高度不能超過B點，即上升的高度不會超過L+R．設碰撞后a的最大速度為

v

2 a1max

a球上升的過程中機械能守恒，有：

1

2

ma 

v

2 a1max

=m_ag（L+R）
得：

v

a1max

=

6gR

≈4.9m/s
③、欲使b能通過最高點，設b球與a碰撞后的速度為

v

b1

，經過最高點時的速度為v_b2，則有：
mbg≤mb 

v 2 b2

R

得：vb2≥

gR

=2m/s
b球在上升至最高點的過程中，只有重力做功，機械能守恒，有：

1

2

mb

v

2 b1

=

1

2

mb

v

2 b2

+mbg(2R+L)
解得：v_b1≥6m/s
v0min≥

ma+mb

2ma

vb1=4m/s
因為a球能通過粗糙區域，設a碰撞前的速度為

v

′ 0

，碰撞后，的速度為v_a1，則有：

v

2 a1

＞2μgs
解得：v_a1＞2.5m/s

v

′ 0

=2va1＞5m/s
碰后a上升的高度不能超過（L+R），必須滿足

v

0max

=2va1≤2

6gR

≈9.8m/s
綜上可得
5m/s＜v₀≤9.8m/s   
答：①若v₀=4m/s，碰后b球的速度為6m/s．
②若v₀未知，碰后a球的最大速度4.9m/s
③若v₀未知，v₀的取值范圍為5m/s＜v₀≤9.8m/s

點評：此題的第一第二問較為簡單，只要判斷出動量和機械能守恒，應用這兩個守恒定律可求出結果．第三問較為復雜，一定要分析清楚a、b的運動過程和臨界狀態．這里有三個臨界狀態，一是b球恰能通過最高點；二是a球不能超過B點；三是a球還要滑出AQ．所以對這三個臨界狀態的分析成了解決此題的關鍵．
所謂臨界問題是指一種物理過程或物理狀態轉變為另一種物理過程或物理狀態的時候，存在著分界的現象，即所謂的臨界狀態，符合這個臨界狀態的條件即為臨界條件．滿足臨界條件的物理量稱為臨界值，在解答臨界問題時，就是要找出臨界狀態，分析臨界條件，求出臨界值． 
解決臨界問題，一般有兩種基本方法：（1）以定理、定律為依據，首先求出所研究問題的一般規律和一般解，然后分析、討論其特殊規律和特殊解．（2）直接分析、討論臨界狀態和相應的臨界值，求解出所研究問題的規律和解．