Question

如圖所示，光滑的

1

4

圓弧軌道AB、EF，半徑AO、O′F均為R且水平．質量為m、長度也為R的小車靜止在光滑水平面CD上，小車上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切．一質量為m的物體（可視為質點）從軌道AB的A點由靜止開始下滑，由末端B滑上小車，小車立即向右運動．當小車右端與壁DE剛接觸時，物體m恰好滑動到小車右端且相對于小車靜止，同時小車與壁DE相碰后立即停止運動但不粘連，物體繼續運動滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來沖上小車．求：
（1）水平面CD的長度；
（2）物體m滑上軌道EF的最高點相對于E點的高度h；
（3）當物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，小車立即向左運動．如果小車與壁BC相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端多遠？

Answer 1

分析：（1）物體從軌道AB下滑過程，機械能守恒，由機械能守恒定律求出物體從A滑至B點時速度．物體在小車滑動的過程，系統的動量守恒，當物體與小車相對靜止時，兩者速度相同，根據動量守恒可求出共同速度．再根據動能定理分別對物體和小車列式，即可求解CD的長度．
（2）物體滑上EF的過程，只有重力做功，其機械能守恒，即可由機械能守恒定律求解h．
（3）物體從EF滑下后并滑上小車后，當物體與小車達到相對靜止，有共同速度，由動量守恒求出共同速度，結合動能定理對小車和物體研究，分別求出物體相對小車的位移和小車滑行的位移．從而得出Q點距小車右端的距離．

解答：解：（1）設物體從A滑至B點時速度為v₀，根據機械能守恒，有
  mgR=

1

2

mv

2 0

設小車與壁DE剛接觸時物體及小車達到的共同速度為v₁，根據動量守恒定律，有
  mv₀=2mv₁
設二者之間摩擦力為f，則
對物體：-fgs_CD=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

mv

2 0

對小車：f（s_CD-R）=

1

2

m

v

2 1

解得：s_CD=

3

2

R
（2）車與ED相碰后，物體以速度v₁沖上EF，則
 

1

2

m

v

2 1

=mgh，
解得：h=

R

4

（3）由第（1）問可求得：f=

1

2

mg，v₁=

gR 2

物體從軌道EF滑下并再次滑上小車后，設它們再次達到共同速度為v₂，物體相對車滑行距離s₁，則 mv₁=2mv₂                                       
 fs₁=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

×2m

v

2 2

，
解得：s₁=

1

4

R
s₁＜R，說明在車與BC相碰之前，車與物體達到相對靜止，以后一起勻速運動直到小車與壁BC相碰．車停止后物體將做勻減速運動，設相對車滑行距離s₂，則
 fs₂=

1

2

m

v

2 2

，
解得：s₂=

1

8

R
所以物體最后距車右端 s_總=s₁+s₂=

3

8

R
 答：
（1）水平面CD的長度為

3

2

R；
（2）物體m滑上軌道EF的最高點相對于E點的高度h為

R

4

；
（3）當物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，小車立即向左運動．如果小車與壁BC相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端為

3

8

R．

點評：本題綜合考查了動能定理、機械能守恒定律以及能量守恒定律，關鍵是理清運動的規程，選擇合適的規律進行求解．