Question

如圖所示，質量為m的小球自由下落高度為R后沿豎直平面內的軌道ABC運動．AB是半徑為R的1/4粗糙圓弧，BC是直徑為R的光滑半圓弧，小球運動到C時對軌道的壓力恰為零．B是軌道最低點．求：
（1）小球在AB弧上運動時，摩擦力對小球做的功．
（2）小球經B點前、后瞬間對軌道的壓力之比．
（3）小球離開C點后豎直下落多少高度才能撞上圓軌道？

Answer 1

分析：（1）小球運動到C點時對軌道的壓力恰為零，由重力提供小球的向心力．小球由靜止釋放到C點過程，重力和摩擦力做功，根據動能定理求解小球在AB弧上運動時，摩擦力對小球做的功．
（2）根據動能定理求出經過B點時的速度大小，根據牛頓運動定律分別求出小球經B點前、后瞬間對軌道的壓力大小，再求解壓力之比．
（3）小球離開C點后做平拋運動，合位移等于半徑，根據平拋運動的分位移公式列式求解即可．

解答：解：（1）小球在C點：根據牛頓第二定律得
mg=m

v 2 c

R 2

小球由靜止釋放到C點過程，據動能定理得
mgR+W_f=

1

2

mv_C²
聯立解得W_f=-

3

4

mgR
（2）小球由靜止釋放到B點過程，據動能定理得
2mgR+W_f=

1

2

mv_B²
在B點前瞬間據牛頓第二定律得
F_N前-mg=m

v 2 B

R

在B點后瞬間據牛頓第二定律得
F_N后-mg=m

v 2 B

R 2

由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力大小等于軌道對小球的支持力大小．
聯立解得 F_N前：F _N后=7：12
（3）小球離開C點后做平拋運動，合位移等于半徑，根據平拋運動的分位移公式，有：
x=v_ct
y=

1

2

gt2
R²=x²+y²
聯列解得：y=

5 -1

2

R≈0.618R
答：（1）小球在AB弧上運動時，摩擦力對小球做的功為-

3

4

mgR．
（2）小球經B點前、后瞬間對軌道的壓力之比為7：12．
（3）小球離開C點后豎直下落0.618R的高度才能撞上圓軌道．

點評：本題是動能定理、向心力公式、平拋運動知識的綜合，小球恰好通過圓軌道最高點時臨界速度要會用牛頓第二定律進行推導．小球經過B點前后，由于軌道半徑變化，導致向心力變化，軌道所受的壓力大小也發生了變化．