Question

如圖所示，在同一豎直平面內兩正對著的半徑為R的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向，一質量為m的小球能在其間運動．今在最低點B與最高點A各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來．（不計空氣阻力，g取10m/s²）
（1）要使小球不脫離軌道，求小球在A點速度；
（2）求A、B兩點的壓力差△F_N與x的函數關系；（用m、R、g表示）
（3）若測得兩點壓力差△F_N與距離x的圖象如右圖所示．根據圖象，求小球的質量．

Answer 1

分析：（1）要使小球不脫離軌道，小球到達軌道最高點A時的速度必須大于等于臨界速度，在最高點時，當重力恰好等于向心力時，小球的速度等于臨界速度，是小球到達最高點的最小速度，由牛頓第二定律列式求解．
（2）在A、B兩點，由軌道的彈力與重力提供向心力，根據牛頓第二定律列式得到軌道的彈力與速度關系，再根據機械能守恒列式，得到兩點速度之間的關系，即可得到壓力差△F_N與x的函數關系；
（3）由壓力差與距離x的關系式，結合圖象的截距求得物體的質量．

解答：解：（1）小球恰能在A點沿軌道運動時：mg=m

v 2 A

R

解得，v_A=

gR

               ①
要使小球不脫離軌道，小球在A點速度必須滿足v_A≥

gR

．
（2）在B點：F_NB-mg=m

v 2 B

R

                 ②
在A點：F_NA+mg=m

v 2 A

R

                   ③
小球從A到B機械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=mg（2R+x）+

1

2

m

v

2 A

           ④
兩點的壓力差：△F_N=F_NB-F_NA=6mg+

2mgx

R

    ⑤
（3）由圖象知：截距：6mg=2.4
解得，m=0.04kg         ⑥
答：
（1）要使小球不脫離軌道，小球在A點速度應大于等于

gR

；
（2）A、B兩點的壓力差△F_N與x的函數關系與6mg+

2mgx

R

；
（3）根據圖象得到小球的質量是0.04kg．

點評：本題考查機械能守恒的應用及豎直面內的圓周運動的臨界值的應用，此類題型為常見題型，應熟練掌握．