Question

【題目】在物理學中，常常用等效替代、類比、微小量放大等方法來研究問題．如在牛頓發現萬有引力定律一百多年后，卡文迪許利用微小量放大法由實驗測出了萬有引力常量G的數值，如圖所示是卡文迪許扭秤實驗示意圖．卡文迪許的實驗常被稱為是“稱量地球質量”的實驗，因為由G的數值及其它已知量，就可計算出地球的質量，卡文迪許也因此被譽為第一個稱量地球的人．

（1）若在某次實驗中，卡文迪許測出質量分別為m1、m2相距為r的兩個小球之間引力的大小為F，求萬有引力常量G；

（2）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略地球自轉的影響，請推導出地球質量及地球平均密度的表達式．

Answer 1

【答案】（1）萬有引力常量為．

（2）地球質量為，地球平均密度的表達式為

【解析】試題分析：根據萬有引力定律，化簡可得萬有引力常量G；

在地球表面附近的物體受到重力等于萬有引力，可以解得地球的質量M，地球的體積為V=，根據密度的定義，代入數據可以計算出地球平均密度．

解：（1）根據萬有引力定律有：

解得：

（2）設地球質量為M，在地球表面任一物體質量為m，在地球表面附近滿足：

得地球的質量為：M=

地球的體積為：V=

解得：地球的密度為：

答：（1）萬有引力常量為．

（2）地球質量為，地球平均密度的表達式為．