Question

（25分）圖1所示為楊氏雙縫干涉實驗的示意圖，取紙面為yz平面。y、z軸的方向如圖所示。線光源S通過z軸，雙縫S₁、S₂對稱分布在z軸兩側，它們以及屏P都垂直于紙面。雙縫間的距離為d，光源S到雙縫的距離為l，雙縫到屏的距離為D，，。

　　1.從z軸上的線光源S出發經S₁、S₂不同路徑到P0點的光程差為零，相干的結果產生一亮紋，稱為零級亮紋。為了研究有一定寬度的擴展光源對于干涉條紋清晰度的影響，我們先研究位于軸外的線光源S′形成的另一套干涉條紋，S′位于垂直于z軸的方向上且與S平行，兩者相距，則由線光源S′出發分別經S₁、S₂產生的零級亮紋，與P₀的距離

　　2.當光源寬度為的擴展光源時，可將擴展光源看作由一系列連續的、彼此獨立的、非相干的線光源組成。這樣，各線光源對應的干涉條紋將彼此錯開，在屏上看到的將是這些干涉條紋的光強相加的結果，干涉條紋圖像將趨于模糊，條紋的清晰度下降。假設擴展光源各處發出的光強相同、波長皆為。當增大導致零級亮紋的亮暗將完全不可分辨，則此時光源的寬度

　　3.在天文觀測中，可用上述干涉原理來測量星體的微小角直徑。遙遠星體上每一點發出的光到達地球處都可視為平行光，從星體相對的兩邊緣點發來的兩組平行光之間的夾角就是星體的角直徑。遙遠星體的角直徑很小，為測量如些微小的角直徑，邁克爾遜設計了測量干涉儀，其裝置簡化為圖2所示。M1、M2、M3、M4是四個平面反射鏡，它們兩兩平行，對稱放置，與入射光（a、 a′）方向成45°角。S1和S2是一對小孔，它們之間的距離是d。M1和M2可以同步對稱調節來改變其中心間的距離h。雙孔屏到觀察屏之間的距離是D。a、 a′和b、 b′分別是從星體上相對著的兩邊緣點發來的平行光束。設光線a、 a′垂直雙孔屏和像屏，星光的波長是，試導出星體上角直徑的計算式。

注：將星體作圓形擴展光源處理時，研究擴展光源的線度對于干涉條紋圖像清晰度的影響會遇到數學困難，為簡化討論，本題擬將擴展光源作寬度為的矩形光源處理。

圖1

圖2

　　

Answer 1

參考解答：

1．

2．

附1、2兩問的參考解法：

1．求經雙縫產生的干涉圖像的零級亮紋的位置

設點的坐標為，它也就是光源與S分別對應的干涉條紋的零級亮紋之間的距離，即

       

由雙縫到點的光程差，從作的垂線交于H點，三角形與三角形相似，因， 則

               （附1）

從作的垂線交于G，到雙縫的光程差

                （附2）

三角形與三角形相似，因，則

               （附3）

對滿足零光程差條件的而言， 

       

得

               （附4）

2．在線光源情況下，可以導出雙縫干涉的相鄰兩亮紋的間距為

               （附5） 

值不同對應著擴展光源中不同位置的線光源．不難證明，它們經雙縫產生干涉條紋的間距均如（5）式所示．寬度為w的擴展光源是由一系列值不同的、連續分布的、相互獨立的線光源構成．因此擴展光源在觀察屏上產生的干涉圖像的強度是由每個線光源產生干涉條紋的強度相加而成．當擴展光源寬度為w時，對于光源最邊緣點有

               （附6）

代入（4）式

               （附7）

若

               （附8）

則相當于擴展光源最邊緣的線光源產生的干涉條紋錯開了一個條紋間距．由于擴展光源各部分產生的干涉條紋的光強分布都相同，各套干涉條紋強度相加的結果使屏上各處光強相等，變得一片模糊而無法分辨．由（5）式和（7）式，求得為使條紋能被分辨，擴展光源允許的最大寬度

               （附9）

3．

 解法一

如圖2所示，是由擴展光源上端邊緣發出的平行光，是由擴展光源下端邊緣發出的平行光．設光線交于點，光線交于點．光束中的光線經過到達觀察屏上P點；光線經過到達觀察屏上P點，兩相干光波產生干涉，在觀察屏上產生一套干涉條紋．同理，平行光束在觀察屏上產生另一套干涉條紋．從擴展光源不同部位發出的、傾角在0和之間不同角度入射的平行光束，經邁克爾遜測星儀相應的反射鏡走過不同路徑到雙孔，然后在觀察屏上產生很多套干涉條紋．這些干涉條紋光強度彼此相加，屏幕上就形成了光強度的分布圖像．根據第2問的結果，其清晰度取決于來自擴展光源上下邊緣發出的平行光與分別在屏幕上產生兩套干涉條紋的相對位置錯開的程度．

由對稱性考慮，平行光束中兩條光線和在觀察屏上的光程差為0，即平行光產生的那套干涉條紋的零級亮紋就在處．現討論以傾角斜入射的平行光束通過整個光學裝置后，在觀察屏上某點發生干涉時的光程差．光束中的光線入射M₁的光線經M₃反射到達，光線從點算起，所經光程為；光線入射M₂的光線經M₄反射到達，光線從點算起，所經光程為．由對稱性可得

               （1）

也就是說從M₁和M₂算起，光線和到達與的光程是相等的，但是光線和在到達M₁和M₂時，二者的相位卻不同．由作斜入射光線的垂線交點，與相位相等，因此，斜入射的兩條平行光線和到達S₁ 和S₂時的相位差是光程差引起的

               （2）

從擴展光源下邊緣發出的平行光束斜入射到測星干涉儀，經雙孔后發出的相干光在觀察屏上坐標為y（坐標原點取在上）的P點上引起的光程差

               （3）

其零級亮紋所在位置對應的光程差，故的坐標

               （4）

這也就是平行光與產生的干涉條紋的零級亮紋（也是兩套條紋）錯開的距離

                （5）

因在線光源情況下，可以導出雙孔干涉的相鄰兩亮紋的間距為

                                                                              （6）

當二者錯開一個條紋間隔時，即，代入（6）式（星光波長采用），得

               （7）

遠處的星體作為擴展光源發出的光經過“測星儀”到達雙孔，在屏上觀察到干涉條紋的清晰度下降，由小到大調節M₁、M₂距離h，當屏幕上條紋消失時，記下此時h的值代入（7）式就可確定擴展光源角直徑的大小．

注：實際星體都看作均勻亮度的圓形擴展光源，通過調節h使屏幕上的干涉條紋消失，即各處強度完全相等時，通過數學計算，用邁克爾遜測星儀測量得的星體角直徑．

解法二

如圖3所示，對M₁、M₃而言，找出對的中間像和對所成的像以及光線a在M₁、M₃的反射點F和G．由物像的對稱性可知，，故

       

即從光線a上一點到和到的光程相等．同理可證，從光線b上一點到和到的光程相等；對M₂、M₄（未畫出）而言，從光線上一點到和到的光程相等；從光線上一點到和到的光程相等．

因此，光線a 到處與光線到處引起的光程差與沒有反射鏡M₁、M₂時兩光線到、處的光程相等．因a、垂直雙孔屏，故

               （1）

通過雙孔、后，光線a、在的光程差

               （2）

平行光束b斜入射時，可從、處求b、兩光線到達、處的光程差．由作的垂線（見圖4），

               （3）

說明光線超前于光線b．

通過雙孔、后光線b、射出的相干光線在屏幕上形成的零級亮紋不可能位于處，因為二者到達雙孔前光線已超前了光線b，如圖5所示，光線經過孔后要多走一段光程來抵消前面的相位差，以達到與光線b在沒有光程差的情況下相交于遠方屏幕上，形成干涉零級亮紋．該點所對應的經過孔后多走的光程        

               （4）

從可求得平行光束經雙孔后在觀察屏上的干涉零級條紋位置．由（3）式和（4）式，得

                         （5）

的位置坐標

                  （6）

由小到大調節反射鏡M₁、M₂之間的距離（也就是、之間的距離）h，直到屏幕上的干涉條紋消失，即各處強度完全相等時，記下此時h的值.這時相干光在屏幕上零級亮紋位置與的距離

               （7）

當等于條紋間隔，即        

                 （8）

代入（7）式得

                  （9）                             

由（5）、（9）兩式，得

               （10） 

解法三

根據第2問的結果，為使條紋能被分辨，擴展光源的允許寬度為，從而擴展光源對雙縫中心的張角為

                                             （1）

如圖3所示，對M₁、M₃而言，找出對的中間像和對所成的像以及光線a在M₁、M₃的反射點F和G．由物像的對稱性可知，，故

                                  

即從光線a上一點到和到的光程相等．同理可證，從光線b上一點到和到的光程相等；對M₂、M₄（未畫出）而言，從光線上一點到和到的光程相等；從光線上一點到和到的光程相等．從分析可知，為經M₃、M₁反射的等效像點，為經M₄、M₂反射的等效像點，從而可將測星干涉看作是經雙孔、的等效楊氏雙縫干涉，其縫距為

                                       （2）

由小到大調節反射鏡M₁、M₂之間的距離（也就是、之間的距離）h，直到屏幕上的干涉條紋消失，即各處強度完全相等，這時只需將測得的h直接替換（1）式中的d，可得計算星體角直徑的公式

                             （3）

得到與前兩種解法相同的結果．