Question

如圖所示，將質(zhì)量為m的小滑塊與質(zhì)量為M=3m的光滑凹槽用輕質(zhì)彈簧相連．現(xiàn)使凹槽和小滑塊以共同的速度v₀沿光滑水平面向左勻速滑動(dòng)，設(shè)凹槽長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，且凹槽與墻壁碰撞時(shí)間極短．
（1）若凹槽與墻壁發(fā)生碰撞后速度立即變?yōu)榱悖�但與墻壁不粘連，求凹槽脫離墻壁后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能△E_P；
（2）若凹槽與墻壁發(fā)生碰撞后立即反彈，且再次達(dá)到共同速度時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為

2

3

m

v

2 0

，求這次碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能△E₁；
（3）試判斷在第（2）問(wèn)中凹槽與墻壁能否發(fā)生第二次碰撞？若不能，說(shuō)明理由．若能，求第二次碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能△E₂．（設(shè)凹槽與墻壁每次碰撞前后速度大小之比不變）

Answer 1

分析：（1）框架與墻壁碰撞后，物塊以v₀壓縮彈簧，后又返回，由機(jī)械能守恒可知，碰后速度仍為v₀方向向右．
設(shè)彈簧有最大勢(shì)能時(shí)共同速度為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；
（2）設(shè)框架反彈速度為v₁、最大勢(shì)能時(shí)共同速度為v，則由動(dòng)量、能量守恒定律即可求解v₁、和v，從而求解損失量；
（3）由（2）知第一次碰后反彈后，二者總動(dòng)量為零，故當(dāng)彈簧再次伸展后仍可繼續(xù)與墻壁相撞，并以v₁的速度與墻壁相撞，根據(jù)速度的比值關(guān)系求得碰后速度即可求解機(jī)械能損失量．

解答：解：（1）凹槽與墻壁碰撞后，滑塊壓縮彈簧，后又返回，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，凹槽將離開(kāi)墻壁，此時(shí)，小滑塊的速度大小為v₀，方向水平向右．設(shè)彈簧具有最大彈性勢(shì)能時(shí)共同速度為v，對(duì)凹槽、小滑塊、彈簧組成的系統(tǒng)，選取水平向右為正方向，
根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有 mv₀=4mv，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv²+E_Px，
解得：E_PX=

3

8

mv₀²；       
（2）設(shè)凹槽反彈速度為v₁，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，有
3mv₁-mv₀=4mv′，

1

2

×3mv₁²+

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv′²+

2

3

mv₀²，
解得：v₁=

v0

3

，v₁′=-

7

3

v₀（舍去），
代入解得：v′=0，
△E₁=

1

2

×3mv₀²-

1

2

×3mv₁²=

4

3

mv₀²，
（3）由第（2）問(wèn)可知，第一次碰撞后系統(tǒng)的總動(dòng)量為零，系統(tǒng)達(dá)到共同速度v′=0時(shí)，
彈簧壓縮量最大，以后，彈簧釋放彈性勢(shì)能，根據(jù)對(duì)稱性可知，凹槽將以v₁=

v0

3

，的速度再次與墻壁碰撞．
根據(jù)題意，有

v2

v1

=

v1

v0

，
解得v₂=

v0

9

，
故△E₂=

1

2

×3m

v

2 1

-

1

2

×3m

v

2 2

=

4

27

mv₀²，
答：（1）彈簧彈性勢(shì)能的最大值為

3

8

mv₀²； 
（2）框架與墻壁碰撞時(shí)損失的機(jī)械能為

4

3

mv₀²；
（3）能，第二次碰撞時(shí)損失的機(jī)械能為

4

27

mv₀²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，難度適中．