Question

兩顆靠得很近的天體稱為雙星，它們以兩者連線上某點O為圓心作角速度相同的勻速圓周運動，這樣就不至于由于萬有引力而吸引在一起，設兩雙星質量分別為m和M，M=3m．兩星球間的距離為L，如圖，在這兩個星球間的相互萬有引力作用下，繞它們連線上某點O轉動，求：
（1）OM間的距離r₁為多少？
（2）他們的運動周期為多少？（引力常數G為已知）

Answer 1

分析：雙星以兩者連線上某點為圓心，各自做勻速圓周運動，向心力由對方的萬有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據牛頓第二定律隔離兩個天體分別研究，再求解星體m₁的軌道半徑和周期．

解答：解：（1）雙星向心力F和角速度ω大小相等，根據萬有引力提供向心力：
對M有：G

Mm

L2

=Mω2r1  ①
對m有：G

Mm

L2

=mω2r2
解得：

r1

r2

=

m

M

=

1

3

又   r₁+r₂=L
所以 r1=

1

4

L
（2）由①式得：
ω2=

Gm

L2r1

又因為ω=

2π

T

所以ω2=

4π2

T2

=

Gm

L2r1

解得：T=πL

L Gm

答：（1）、OM間的距離r₁為

1

4

L；
（2）、他們的運動周期為πL

L Gm

．

點評：本題是雙星問題，與衛星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關鍵抓住條件：周期相同．